2023학년도 09월 20번

20. 상수 $k(k<0)$$k~(k<0)$에 대하여 두 함수

$$f(x)=x^3+x^2-x,g(x)=4|x|+k$$

의 그래프가 만나는 점의 개수가 $2$$2$일 때, 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$$S$라 하자. $30\times S$$30\times S$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 교점이 $2$$2$개가 되기 위해서는 $\begin{array}{c}y=\{\begin{array}{l}4x+k\\ \\ -4x+k\end{array}\end{array}$$y=\begin{cases} 4x+k\\ \\ -4x+k\end{cases}$의 그래프 중 하나와 접해야만 한다.

ii. $f^{\prime }(x)=\pm 4$$f'(x)=\pm 4$가 되는 점을 찾고, 이를 이용하여 $k$$k$값을 찾도록 하자.

• $f^{\prime }(x)=3x^2+2x-1$$f'(x)=3x^2 +2x -1$

  • $f^{\prime }(x)=-4$$f'(x)=-4$일 때,

    $3x^2+2x+3=0$$3x^2 +2x +3=0$

    $D/4<0$$D/4<0$

  • $f^{\prime }(x)=4$$f'(x)=4$일 때,

    $3x^2+2x-5=0$$3x^2 +2x-5=0$

    $x=1,-\frac{5}{3}$$x=1,~-\cfrac 53$

    대충 그래프 개형을 그려보면, (그리기 귀찮으니 생략) $x=1$$x=1$일 때임을 알 수 있다.

• $f(1)=1$$f(1)=1$

  $y=4(x-1)+1$$y=4(x-1)+1$

  $y=4x-3$$y=4x-3$

  $\therefore k=-3$$\therefore~ k=-3$

• $y=-4x+k$$y=-4x+k$와 $y=f(x)$$y=f(x)$의 교점을 구하면, $x=-1$$x=-1$

  당연히 계산생략.

iii. 계산하자.

$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{-1}^0\{f(x)-(-4x-3)\}dx+{\int }_0^1\{f(x)-(4x-3)\}dx\\ \\ & =\frac{2}{3}+2\end{array}$$\begin{aligned} S&=\int_{-1}^0 \{f(x)-(-4x-3)\}dx +\int_0^1 \{f(x)-(4x-3)\}dx\\ \\ &= \cfrac 23 +2\end{aligned}$

$\therefore 30S=20+60=80$$\therefore~ 30S=20+60=80$