2023학년도 09월 14번

14. 최고차항의 계수가 $1$$1$이고 $f(0)=0,f(1)=0$$f(0)=0,~f(1)=0$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(t)$$g(t)$를

$$g(t)={\int }_t^{t+1}f(x)dx-{\int }_0^1|f(x)|dx$$

라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $g(0)=0$$g(0)=0$이면 $g(-1)=0$$g(-1)=0$이다.

ㄴ. $g(-1)>0$$g(-1)>0$이면 $f(k)=0$$f(k)=0$을 만족시키는 $k<-1$$k<-1$인 실수 $k$$k$가 존재한다.

ㄷ. $g(-1)>1$$g(-1)>1$이면 $g(0)<-1$$g(0)<-1$이다.

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i. 정리

• $f(x)=x(x-1)(x-\alpha )$$f(x)=x(x-1)(x-\alpha)$

  단, $\alpha$$\alpha$는 실수

ii. 생각

• 우선 가능한 $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형을 생각그려놓자.

  

  

  뭐 $\alpha =-1,1$$\alpha=-1,~1$인 경우와 $-1<\alpha <1$$-1<\alpha<1$ 인 경우는 필요하면 그때가서 다시 그리자.

iii. ㄱ

• $g(0)=0$$g(0)=0$인 조건을 살펴보자.

  $\begin{array}{rl}g(0)& ={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^1|f(x)|dx\\ & =0\end{array}$$\begin{aligned} g(0)&=\int_0^1 f(x)dx -\int_0^1 |f(x)|dx \\ &=0 \end{aligned}$

  이 조건을 만족시키기 위해서는 닫힌구간 $[0,1]$$[0,~1]$에서 $f(x)\ge 0$$f(x)\ge 0$을 만족시키면 된다.

  즉, $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프는

  

• $g(-1)$$g(-1)$을 살펴보자.

  $\begin{array}{rl}g(-1)& ={\int }_{-1}^{0}f(x)dx-{\int }_0^1|f(x)|dx\\ \\ & ={\int }_{-1}^{0}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} g(-1)&=\int_{-1}^0f(x)dx -\int_0^1 |f(x)|dx \\ \\&=\int_{-1}^0 f(x)dx -\int_0^1f(x)dx \end{aligned}$

  그래프 개형을 살펴보면,

  $\begin{array}{r}{\int }_{-1}^{0}f(x)dx<0,{\int }_0^{1}f(x)dx>0\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-1}^0 f(x)dx <0,~ \int_0^1 f(x)dx >0\end{aligned}$

$\therefore g(-1)<0$$\therefore~ g(-1)<0$

True

iv. ㄴ

• $g(-1)>0$$g(-1)>0$을 만족시키는 경우를 찾자.

  $\begin{array}{rl}g(-1)& ={\int }_{-1}^{0}f(x)dx-{\int }_0^1|f(x)|dx\end{array}$$\begin{aligned} g(-1)&=\int_{-1}^0 f(x)dx -\int_0^1 |f(x)|dx \end{aligned}$

  

  위의 그래프 개형일 때, 조건을 만족시킨다.

  만일 $\alpha =-1$$\alpha=-1$이면 $g(-1)=0$$g(-1)=0$이니까 $\alpha <-1$$\alpha <-1$이어야 한다.

$\therefore f(k)=0,k<-1$$\therefore~ f(k)=0,~k<-1$

True

v. ㄷ

• $g(-1)>1$$g(-1)>1$의 조건을 생각하자.

  분명히 ㄴ의 조건을 생각하면 $\alpha <-1$$\alpha<-1$을 만족시킬 것인데, 문제는 $g(-1)>1$$g(-1)>1$로 조건이 주어져 있다.

  하....이거 계산해야 하는 문제네.....

• $f(x)=x(x-1)(x-\alpha )$$f(x)=x(x-1)(x-\alpha)$라 두고 $g(-1)$$g(-1)$의 조건을 생각하자.

  $f(x)=0$$f(x)=0$의 근은 $x=\alpha ,0,1$$x=\alpha,~0,~1$이므로 삼차방정식의 근과 계수와의 관계를 생각하면,

  $f(x)=x^3-(1+\alpha )x^2+\alpha x$$f(x)=x^3 -(1+\alpha)x^2 +\alpha x$

• $g(-1)>1$$g(-1)>1$의 조건을 정리해서 $\alpha$$\alpha$의 범위를 구하자.

  $\begin{array}{rl}g(-1)& ={\int }_{-1}^{0}f(x)dx-{\int }_0^1|f(x)|dx\\ \\ & ={\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_0^{1}f(x)dx\\ \\ & ={\int }_{-1}^{1}f(x)dx\\ \\ & =2{\int }_0^1-(1+\alpha )x^{2}dx\\ \\ & =-2\frac{1+\alpha }{3}>1\end{array}$$\begin{aligned}g(-1)&=\int_{-1}^0 f(x)dx -\int_0^1 |f(x)|dx \\ \\ &= \int_{-1}^1 f(x)dx +\int_0^1 f(x)dx \\ \\ &= \int_{-1}^1 f(x)dx \\ \\ &= 2\int_0^1 -(1+\alpha)x^2 dx \\ \\ &= -2\cfrac {1+\alpha}3 >1 \end{aligned}$

  정리하면, $\alpha <-\frac{5}{2}$$\alpha <-\cfrac 52$

  홀함수와 짝함수의 적분!!!

• $g(0)$$g(0)$을 계산하자.

  귀찮으니 계산생략.

  $g(0)=\frac{-1+2\alpha }{6}$$g(0)=\cfrac{-1+2\alpha}6$

  위에서 구한 $\alpha$$\alpha$의 범위를 대입하면,

  $g(0)=\frac{-1+2\alpha }{6}<-1$$g(0)=\cfrac {-1+2\alpha}6<-1$

True