2022년 07월 15번

15. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x+2)& (x<0)\\ \\ \begin{array}{r}{\int }_0^{x}tf(t)dt\end{array}& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 실수 $a$$a$에 대하여 함수 $h(x)$$h(x)$를

$$h(x)=|g(x)-g(a)|$$

라 할 때, 함수 $h(x)$$h(x)$가 $x=k$$x=k$에서 미분가능하지 않은 실수 $k$$k$의 개수가 $1$$1$이 되도록 하는 모든 $a$$a$의 곱을 구하시오.

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$는 미분가능하다.

  • $x=0$$x=0$에서 연속이다.

    $f(2)=0$$f(2)=0$

  • $x=0$$x=0$에서 미분가능하다.

    $\begin{array}{c}{g}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}{f}^{\prime }(x+2)& (x<0)\\ \\ xf(x)& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$g'(x)=\begin{cases} f'(x+2) &(x<0)\\ \\ xf(x)&(x\ge 0)\end{cases}$

    $f^{\prime }(2)=0$$f'(2)=0$

  $\therefore f(x)=(x-2{)}^2$$\therefore~ f(x)=(x-2)^2$

• $g(x)$$g(x)$의 그래프를 그리자.

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& (x<0)\\ \\ \begin{array}{r}{\int }_0^{x}x(x-2{)}^2\end{array}& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} x^2&(x<0) \\ \\ \begin{aligned} \int_0^x x(x-2)^2 \end{aligned} &(x\ge 0)\end{cases}$

  적분계산하기 싫으니까, $g^{\prime }(x)=x(x-2{)}^2(x\ge 0)$$g'(x)=x(x-2)^2 \quad (x\ge 0)$을 이용해서 그리자.

  

  $a=2$$a=2$이면 되고

  헐.....$x<0$$x<0$에서도 하나 찾아야 하네..

  $\begin{array}{rl}{a}^2& ={\int }_0^{2}x(x-2{)}^{2}dx\\ \\ & =\frac{4}{3}\end{array}$$\begin{aligned} a^2 &=\int_0^2 x(x-2)^2 dx\\ \\ &= \cfrac 43\end{aligned}$

  $a=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$$a=\pm \cfrac 2{\sqrt 3}$ 그런데, $a<0$$a<0$

  $\therefore a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\therefore~ a=-\cfrac {2\sqrt 3}3$

$\therefore 2\times -\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$$\therefore~ 2\times -\cfrac {2\sqrt 3}3=-\cfrac{4\sqrt 3}3$