2023학년도 06월 22번

22. 두 양수 $a,b(b>3)$$a,~b~(b>3)$과 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}(x+3)f(x)& (x<0)\\ \\ (x+a)f(x-b)& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(4)$$g(4)$의 값을 구하시오.

$\underset{x\to -3}{lim}\frac{\sqrt{|g(x)|+\{g(x){\}}^2}-|g(t)|}{(x+3{)}^2}$$\lim\limits_{ x\to -3} \cfrac {\sqrt{|g(x)|+\big\{g(x)\big\}^2}-|g(t)|}{(x+3)^2}$의 값이 존재하지 않는 실수 $t$$t$의 값은 $-3$$-3$과 $6$$6$ 뿐이다.

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$는 연속이다. $x=0$$x=0$에서 연속이다.

  $3f(0)=af(-b)$$3f(0)=af(-b)$

  어...음....나중에 쓰자...지금 쓰기에는 식이 너무 복잡하다.

• 극한식을 계산하자.

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to -3}{lim}\frac{\sqrt{|g(x)|+\{g(x){\}}^2}-|g(t)|}{(x+3{)}^2}& =\underset{x\to -3}{lim}\frac{|g(x)|}{(x+3{)}^2(\sqrt{|g(x)|+\{g(t){\}}^2}+|g(t)|)}\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{ x\to -3} \cfrac {\sqrt{|g(x)|+\big\{g(x)\big\}^2}-|g(t)|}{(x+3)^2}&=\lim\limits_{ x\to -3} \cfrac{|g(x)|}{(x+3)^2\Big(\sqrt{|g(x)|+\big\{g(t)\big\}^2}+|g(t)|\Big)} \end{aligned}$

  i. $t=-3,6$$t=-3,~6$이 아닐 때에는 극한값이 존재해야한다.

  $g(x)$$g(x)$는 $(x+3{)}^2$$(x+3)^2$을 인수로 가지고 있어야 한다.

  $\therefore f(x)=(x+3)(x-k)$$\therefore~ f(x)=(x+3)(x-k)$로 생각할 수 있다.

  이를 극한식에 대입해서 계산하면,

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to -3}{lim}\frac{|g(x)|}{(x+3{)}^2(\sqrt{|g(x)|+\{g(t){\}}^2}+|g(t)|)}& =\frac{|x-k|}{2|g(t)|}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{ x\to -3} \cfrac{|g(x)|}{(x+3)^2\Big(\sqrt{|g(x)|+\big\{g(t)\big\}^2}+|g(t)|\Big)}&=\cfrac{|x-k|}{2|g(t)|} \end{aligned}$

  ii. 극한값은 오직 $t=-3,6$$t=-3,~6$일 때에만 존재하지 않는다.

  $g(x)=0$$g(x)=0$의 근은 오직 $-3,6$$-3,~6$ 뿐이다!

  • $k<-3$$k<-3$일 때

    $g(x)=0$$g(x)=0$의 근은 $-3,6$$-3,~6$ 외에 $k$$k$도 한 근을 가지게 된다. 조건에 위배된다!

  • $-3<k<0$$-3<k<0$일 때에도 마찬가지

  • $0\le k$$0\le k$인 경우

    $g(x)=0$$g(x)=0$의 근은 $-3$$-3$ 그리고 양수부분에서는 $f(x-b)=0$$f(x-b)=0$의 양의 근을 살펴보면 된다.

    $-3+b,k+b$$-3+b,~k+b$의 두근이 발생하므로 이또한 조건에 위배된다.

  $\therefore k=-3$$\therefore~ k=-3$

  $\therefore f(x)=(x+3{)}^2$$\therefore~ f(x)=(x+3)^2$

• $f(x-b)=0$$f(x-b)=0$의 양의 근은 $6$$6$임을 이용하면,

  $f(x-b)=(x-b+3{)}^2⟶f(6-b)=(9-b{)}^2=0$$f(x-b)=(x-b+3)^2\quad \longrightarrow \quad f(6-b)=(9-b)^2 =0$

  $\therefore b=9$$\therefore~ b=9$

• $3f(0)=af(-b)$$3f(0)=af(-b)$를 이용하자.

  $3f(0)=af(-9)$$3f(0)=af(-9)$

  $27=a\cdot 36$$27=a\cdot 36$

  $\therefore a=\frac{3}{4}$$\therefore~ a=\cfrac 34$

• $g(4)$$g(4)$를 구하자.

  $g(x)=(x+\frac{3}{4})f(x-9)$$g(x)=(x+\cfrac 34) f(x-9)$

  $g(4)=(4+\frac{3}{4})f(-5)=(4+\frac{3}{4})(4-9+3{)}^2=(4+\frac{3}{4})4=16+3=19$$g(4)=(4+\cfrac 34) f(-5)=(4+\cfrac 34 )(4-9+3)^2=(4+\cfrac 34 )4 =16+3=19$