2023학년도 06월 20번

20. 최고차항의 계수가 $2$$2$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $\begin{array}{r}g(x)={\int }_x^{x+1}|f(t)|dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_x^{x+1} |f(t)|dt\end{aligned}$는 $x=1$$x=1$과 $x=4$$x=4$에서 극소이다. $f(0)$$f(0)$의 값을 구하시오.

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의외로 오답률이 높길래...추가합니다..

i. 생각

• 우선 $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형을 생각하자.

  

  대충 유추해보면, 처음의 그래프는 극소가 $1$$1$개만 나올 것이고 $y=f(x)$$y=f(x)$가 $x$$x$ 축과 두 점에서 만날 때에 극소점이 $2$$2$개 극대점이 $1$$1$개 나옴을 알 수 있다.

• 극값을 찾기 위해 미분하자!

  $g^{\prime }(x)=|f(x+1)|-|f(x)|$$g'(x)=|f(x+1)|-|f(x)|$

  • $g^{\prime }(1)=|f(2)|-|f(1)|$$g'(1)=|f(2)|-|f(1)|$
  • $g^{\prime }(4)=|f(4)|-|f(3)|$$g'(4)=|f(4)|-|f(3)|$

  이 가장 작아야 한다!!!

• 조금 생각해볼까?

  • 극솟값의 위치에 대해 생각하자. (우선 닫힌 구간 $[1,2]$$[1,~2]$)

    분명히 $f(x)=0$$f(x)=0$의 근처 어딘가에서 발생할 것이다.

    그리고 $f(x)=0$$f(x)=0$의 점을 사이에 두고 $x=1,2$$x=1,~2$가 있을 것이다. ($\because g^{\prime }(1)$$\because g'(1)$의 값이 작을 수록 좋다!)

     

    $\underset{h\to 0}{lim}|f(1+h)|$$\lim\limits_{ h\to 0} |f(1+h)|$와 $\underset{h\to 0}{lim}|f(2+h)|$$\lim\limits_{ h\to 0}|f(2+h)|$를 생각해보자.

    $h\to 0-$$h\to 0-$일 때에는 $\underset{h\to 0-}{lim}|f(1+h)|>\underset{h\to 0-}{lim}|f(1+h)$$\lim\limits_{ h\to 0-}|f(1+h)|>\lim\limits_{ h\to 0-}|f(1+h)$로 $\underset{h\to 0-}{lim}{g}^{\prime }(1+h)\le 0$$\lim\limits_{ h\to 0-}g'(1+h)\le0$일 것이다. ($\because$$\because$ 변화값이 $x<1$$x<1$이 $2<x$$2<x$ 보다 크다. )

    그리고, $h\to 0+$$h\to 0+$일 때에는 그 반대가 되서 $g^{\prime }(1)\ge 0$$g'(1)\ge0$이 될 것이다.

    그럼? 극소가 되려면, $g^{\prime }(1)=0$$g'(1)=0$이 될 것이다.

     

    마찬가지로 닫힌 구간 $[4,5]$$[4,~5]$에서도 동일하게 $g^{\prime }(4)=0$$g'(4)=0$일 것이다.

  • 이제 그래프를 보고 생각하자.

    

    당연히 극소값은 서로 대칭되는 지점에 있을 것이다. 그럼 대칭축은 $x=3$$x=3$일 것이다.

    $f(x)=2(x-3{)}^2+k$$f(x)=2(x-3)^2 +k$로 둘 수 있고

    $f(1)=-f(2),-f(4)=f(5)$$f(1)=-f(2), ~-f(4)=f(5)$를 만족하면 되겠다.

    뭐 어차피 둘다 같으니까..

    $f(1)=8+k,f(2)=2+k$$f(1)=8+k,~f(2)=2+k$

    $\therefore 8+k=-2-k$$\therefore~ 8+k=-2-k$

    $\therefore k=-5$$\therefore~ k=-5$

$\therefore f(x)=2(x-3{)}^2-5$$\therefore~ f(x)=2(x-3)^2 -5$

$\therefore f(0)=18-5=13$$\therefore~ f(0)=18-5=13$