2022년 07월 21번

21. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\sum _{k=1}^{2n}{a}_k=17n$$\sum\limits_{ k=1}^{2n} a_k=17n$

(나) $|a_{n+1}-a_n|=2n-1$$\big|a_{n+1} -a_n \big|=2n-1$

$a_2=9$$a_2=9$일 때, $\sum _{k=1}^{10}{a}_{2n}$$\sum\limits_{ k=1}^{10} a_{2n}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 수열문제다. 대입하면서 규칙을 찾자.

• 대입하자

  • $n=1$$n=1$을 대입하면

    (가)를 이용하면, $a_1=8$$a_1= 8$

  • $n=2$$n=2$를 대입하면,

    $|a_3-a_2|=|a_3-9|=3$$|a_3-a_2|=|a_3-9|=3$

    $a_3=12,6$$a_3=12,~6$

    헐...나뉘기 시작한다...

  • $n=3$$n=3$을 대입하면

    $|a_4-a_3|=5$$|a_4-a_3|=5$

    $a_3$$a_3$의 경우에 따라,

    $a_4=17,7,11,1$$a_4=17,~7,~11,~1$

     

    그런데, $a_3+a_4=17$$a_3+a_4=17$이다. (조건 (가)에 따라서)

    $\therefore a_3=6,a_4=11$$\therefore~ a_3=6,~a_4=11$

• 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 짝수항만 규칙이 있는 지를 찾아내자

  $9,11$$9,~11$

  아직 모륵겠다...

• 대입하자.

  • $n=4$$n=4$를 대입하자.

    $|a_5-a_4|=|a_5-11|=7$$|a_5-a_4|=|a_5-11|=7$

    $a_5=18,4$$a_5=18,~4$

  • $n=5$$n=5$를 대입하자.

    $|a_6-a_5|=9$$|a_6-a_5|=9$

    $a_6=27,9,13,5$$a_6=27,~9,~13,~5$

     

    $a_5+a_6=17$$a_5+a_6=17$인 경우를 찾자.

    $a_5=4,a_6=13$$a_5=4,~a_6=13$일 때다

$a_2=9,a_4=11,a_6=13$$a_2=9,~a_4=11,~a_6=13$

$a_8=15$$a_8=15$가 나오면, $a_{2n}=2n+7$$a_{2n}=2n+7$이네?

• 마지막 대입이길 바라면서

  • $n=6$$n=6$일 때,

    $|a_7-a_6|=|a_7-13|=11$$|a_7-a_6|=|a_7-13|=11$

    $a_7=24,2$$a_7=24,~2$

  • $n=7$$n=7$일 때,

    $|a_8-a_7|=13$$|a_8-a_7|=13$

    $a_8=37,11,15,-11$$a_8=37,~11,~15,~-11$

    $a_7=2,a_8=15$$a_7=2,~a_8=15$

• $9,11,13,15,\cdots$$9,~11,~13,~15,~\cdots$ 규칙을 찾았다.

  $\sum _{k=1}^{10}{a}_{2n}=\sum _{k=1}^{10}(2n+7)=110+70=180$$\sum\limits_{ k=1}^{10} a_{2n}=\sum\limits_{ k=1}^{10} (2n+7)=110+70=180$

$\therefore 180$$\therefore~ 180$