2022년 07월 22번

22. 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 점 $(0,0)$$(0,~0)$에서의 접선의 방정식을 $g(x)$$g(x)$라 할 때, 함수 $h(x)$$h(x)$를

$$h(x)=|f(x)|+g(x)$$

라 하자. 함수 $h(x)$$h(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 $y=h(x)$$y=h(x)$ 위의 점 $(k,0)(k\ne 0)$$(k,~0)~(k\neq 0)$에서의 접선의 방정식은 $y=0$$y=0$이다.

(나) 방정식 $h(x)=0$$h(x)=0$의 실근 중에서 가장 큰 값은 $12$$12$이다.

$h(3)=-\frac{9}{2}$$h(3)=-\cfrac 92$일 때, $k\times \{h(6)-h(11)\}$$k\times \{h(6)-h(11)\}$의 값을 구하시오. (단, $k$$k$는 상수이다.)

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i. 생각

• 얼래...절댓값이 반만 있네..?

• $f(0)=0$$f(0)=0$을 이용해서

  $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$$f(x)=ax^3+bx^2 +cx$라 하면,

  $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$$f'(x)=3ax^2 +2bx+c$

  $\therefore g(x)=cx$$\therefore~ g(x)=cx$

• 우선 절댓값은 생각하기 힘드니까, 아는 것을 정리하자.

  $|f(x)|=-g(x)$$|f(x)|=-g(x)$의 교점의 $x$$x$ 좌표는 $0,k$$0,~k$이고 $k$$k$는 중근이다!

  뭐 절댓값을 빼버려도 변함이 있을까? 절댓값이 있건 없건 $0$$0$은 무조건 근이어야 하고, $k$$k$는 중근이어야 함에는 변함이 없다.

  그럼 나머지 근들은 절댓값으로 인해 $x$$x$축에 $y=f(x)$$y=f(x)$가 대칭되면서 $y=-g(x)$$y=-g(x)$의 그래프와 만나는 점일 것이다.

   

  즉, $f(x)=-g(x)$$f(x)=-g(x)$를 다시 표현하면, $f(x)+g(x)=f(x)+cx=ax(x-k{)}^2$$f(x)+g(x)=f(x)+cx=ax(x-k)^2$이다.

  자, 그럼 $y=f(x)$$y=f(x)$와 $y=-g(x)=-cx$$y=-g(x)=-cx$가 $0,k$$0,~k$에서 만나도록 그리고 조건 (나)를 생각하면서 그리자.

  솔직히 이건 좀 직접 삽질하면서 익혀야지.. 나중에 스스로 그려볼 수 있을 껄?

   

  

  $a<0,c<0$$a<0,~c<0$이어야 조건을 만족한다.

  그럼 이대로 풀어도 되지만, 계산상의 편의를 위해 부호를 조정하자.

   

  • $a>0,c>0$$a>0,~c>0$이고,

    $f(x)=-g(x)⟶f(x)+g(x)=f(x)-cx=-ax(x-k{)}^2$$f(x)=-g(x)\quad \longrightarrow f(x)+g(x)=f(x)-cx=-ax(x-k)^2$

    $\therefore f(x)=-ax(x-k{)}^2-cx$$\therefore~ f(x)=-ax(x-k)^2 -cx$이고, $f^{\prime }(x)=-a(x-k{)}^2-2ax(x-k)-c$$f'(x)=-a(x-k)^2 -2ax(x-k)-c$

  • $f^{\prime }(0)=-c$$f'(0)=-c$를 만족해야한다. ($f(x)=-a{x}^3+b{x}^2-cx$$f(x)=-ax^3+bx^2-cx$에서 표현형태가 바뀌었다.)

    $f^{\prime }(0)=-a{k}^2-c=-c⟶2c=a{k}^2$$f'(0)=-ak^2 -c=-c\quad \longrightarrow \quad 2c=ak^2$

  • 그래프를 보니, $-f(12)=12c$$-f(12)=12c$를 만족해야한다. ($\because h(12)=0$$\because~h(12)=0$)

    $12a(12-k{)}^2=24c⟶a(12-k{)}^2=2c$$12a(12-k)^2 =24c\quad\longrightarrow \quad a(12-k)^2 =2c$

    $\therefore a(12-k{)}^2=a{k}^2$$\therefore~ a(12-k)^2 =ak^2$

    이를 풀면,($a\ne 0$$a\neq 0$)

    $k=6$$k=6$

    이를 다시 대입하면, $c=18a$$c=18a$

    $\therefore f(x)=-ax(x-6{)}^2+18ax$$\therefore~ f(x)=-ax(x-6)^2 +18ax$

    $\therefore h(x)=|f(x)|-18ax$$\therefore~ h(x)=|f(x)|-18ax$

  와...미지수 한개 남았다. 오! $h(3)=-\frac{9}{2}$$h(3)=-\cfrac 92$를 이용하자.

  • 계산

    $\begin{array}{r}h(3)=|f(3)|-54a\\ \\ & =|-3a(3-6{)}^2+54a|-54a\\ \\ & =27a-54a\\ & =-\frac{9}{2}\end{array}$$\begin{aligned} h(3)=|f(3)|-54a\\ \\ &=|-3a(3-6)^2 +54a|-54a \\ \\ &= 27a-54a \\ &= -\cfrac 92 \end{aligned}$

    $\therefore a=\frac{1}{6}$$\therefore~ a=\cfrac 16$

$\therefore h(x)=|-\frac{1}{6}x(x-6{)}^2+3x|-3x$$\therefore~ h(x)=|-\cfrac 16 x(x-6)^2 +3x|-3x$

• 계산하자.

  $h(6)=0$$h(6)=0$

  $h(11)=-\frac{121}{6}$$h(11)=-\cfrac {121}6$

$\therefore k\times \{h(6)-h(11)\}=121$$\therefore~ k\times \{h(6)-h(11)\}=121$