2023학년도 09월 21번

21. 그림과 같이 곡선 $y=2^x$$y=2^x$ 위에 두 점 $P(a,2^a),Q(b,2^b)$$P(a,~2^a),~Q(b,~2^b)$이 있다. 직선 $PQ$$PQ$의 기울기를 $m$$m$이라 할 때, 점 $P$$P$를 지나며 기울기가 $-m$$-m$인 직선이 $x$$x$축, $y$$y$과 만나는 점을 각각 $A,B$$A,~B$라 하고, 점 $Q$$Q$를 지나며 기울기가 $-m$$-m$인 직선이 $x$$x$ 축과 만나는 점을 $C$$C$라 하자.

$$\overline{AB}=4\overline{PB},\overline{CQ}=3\overline{AB}$$

일 때, $90\times (a+b)$$90\times(a+b)$의 값을 구하시오. (단, $0<a<b$$0<a<b$)

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i. 생각

아무래도 수식으로만 풀기에는 무척이나 더러울 거 같다. 하기도 싫다.

그러니 도형을 이용하자.

ii. 보조선을 그리고 점을 정의하자.

• $P$$P$에서 $y$$y$ 축에 내린 수선의 발을 $G$$G$
• $P$$P$에서 $x$$x$축에 내린 수선의 발을 $E$$E$
• $Q$$Q$에서 $x$$x$축에 내린 수선의 발을 $F$$F$
• 직선 $PQ$$PQ$의 연장선이 $x$$x$축과 만나는 점을 $D$$D$

iii. 조건을 이용하여 길이를 표현하고 계산하자.

• $\overline{BP}=\alpha$$\overline{BP}=\alpha$라 하면,

  $\overline{PA}=3\alpha$$\overline{PA}=3\alpha$

  $\overline{QC}=12\alpha$$\overline{QC}=12\alpha$

• 그런데 직선의 기울기가 $m,-m$$m,~-m$으로만 되어 있다?

  $\mathrm{△}QDC$$\triangle QDC$는 $\overline{QD}=\overline{QC}$$\overline{QD}=\overline{QC}$인 이등변삼각형이다!

  $\mathrm{△}PDA$$\triangle PDA$도 마찬가지!

• $\mathrm{△}BGP$$\triangle BGP$와 $\mathrm{△}BOA$$\triangle BOA$는 닮음이다.

  $P$$P$의 $x$$x$좌표는 $a$$a$이므로,

  $\alpha :a=4\alpha :\overline{OA}$$\alpha : a=4\alpha:\overline{OA}$

  $\therefore \overline{OA}=4a\to \overline{EA}=3a$$\therefore~ \overline{OA}=4a\rightarrow \overline{EA}=3a$

  이등변삼각형임을 이용하면, $D$$D$의 $x$$x$좌표는 $-2a$$-2a$

• $\mathrm{△}DAP$$\triangle DAP$와 $\mathrm{△}DCQ$$\triangle DCQ$가 닮음인 것을 이용하면,

  $\overline{DA}:\overline{PA}=\overline{DC}:\overline{QC}$$\overline{DA} : \overline{PA}=\overline{DC}:\overline{QC}$

  $6a:3\alpha =\overline{DC}:12\alpha$$6a:3\alpha =\overline{DC}: 12\alpha$

  $\therefore \overline{DC}=24a$$\therefore~ \overline{DC}=24a$

• $\mathrm{△}QDC$$\triangle QDC$가 이등변삼각형인 것을 이용하면,

  $Q$$Q$의 $x$$x$좌표는 $10a$$10a$

  $\therefore b=10a$$\therefore~ b=10a$

iii. 계산

• 직선 $\overline{PQ}$$\overline{PQ}$를 지나고, 이 직선은 $D(-2a,0)$$D(-2a,~0)$을 지난다.

  $y=-\frac{2^{10a}-2^a}{10a-a}(x-a)+2^a$$y=-\cfrac{2^{10a}-2^a}{10a-a}(x-a)+2^a$

  점 $D$$D$를 대입하고 정리하면,

  $a=\frac{2}{9},b=\frac{20}{9}$$a=\cfrac 29,~b=\cfrac {20}9$

$\therefore 90(a+b)=10\times 22=220$$\therefore~ 90(a+b)=10\times 22=220$