2022년 10월 15번

수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$$n$항까지의 합을 $S_n$$S_n$이라 하자. 두 자연수 $p,q$$p,~q$에 대하여 $S_n=p{n}^2-36n+q$$S_n=pn^2 -36n+q$일 때, $S_n$$S_n$이 다음 조건을 만족시키도록 하는 $p$$p$의 최솟값을 $p_1$$p_1$이라 하자.

임의의 두 자연수 $i,j$$i,~j$에 대하여 $i\ne j$$i\neq j$이면 $S_i\ne S_j$$S_i\neq S_j$이다.

$p=p_1$$p=p_1$일 때, $|a_k|<a_1$$|a_k|<a_1$을 만족시키는 자연수 $k$$k$의 개수가 $3$$3$이 되도록 하는 모든 $q$$q$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• 수열은 정의역이 자연수인 함수이다.

  이를 생각하면, $S_n$$S_n$은 이차함수에서 정의역이 자연수인 함수로 생각할 수 있다.

  그렇다면 $P_n(n,S_n)$$P_n(n,~S_n)$으로 그래프위에 표현할 수 있다.

• 이차함수의 성질을 생각하면, 꼭짓점에 대하여 대칭이다.

  • 꼭짓점을 기준으로 $\frac{i+j}{2}\ne$$\cfrac {i+j}2\neq$ 꼭짓점의 $x$$x$좌표가 나오면 위의 조건을 만족시킨다.

• $S_n$$S_n$의 식을 이용하여 $a_n$$a_n$의 식을 구할 수 있다. (단, $n\ge 2$$n\ge 2$)

뭐 어찌저찌 될 거 같다.

ii. $p_1$$p_1$을 찾자.

$S_n=p(n-\frac{18}{p}{)}^2+q-(\frac{18}{p}{)}^2$$S_n=p\big(n-\cfrac {18}p\big)^2+q-\big(\cfrac {18}p\big)^2$

꼭짓점의 $x$$x$ 좌표는 $\frac{18}{p}$$\cfrac {18}p$

• $\frac{i+j}{2}\ne \frac{18}{p}$$\cfrac {i+j}2\neq\cfrac {18}p$

  $p(i+j)\ne 36$$p(i+j)\neq 36$

  $p$$p$는 $36$$36$과 서로소인 수이거나...뭐 또 계산해서 같은 수를 더하고 뺏을 때 자연수가 나오는 지 살펴봐야겠다.

  그런데, 어차피 최소인 수이니까...

  $\therefore p_1=5$$\therefore~ p_1=5$

iii. $a_n$$a_n$을 구하자.

$a_1=p_1-36+q=q-31$$a_1=p_1-36+q=q-31$

$S_n-S_{n-1}=a_n=10n-41(n\ge 2)$$S_n-S_{n-1}=a_n=10n-41\quad (n\ge 2)$

$a_2=-21,a_3=-11,a_4=-1,a_5=9,a_6=19,\cdots$$a_2=-21,~a_3=-11,~a_4=-1,~a_5=9,~a_6=19,~\cdots$

$\therefore |a_k|<a_1(k=3,4,5)$$\therefore~ |a_k|<a_1\quad (k=3,~4,~5)$

iv. 계산하자.

• $a_3,a_4,a_5$$a_3,~a_4,~a_5$에 대한 조건을 이용하자.

  • $11<q-31⟶42<q$$11<q-31\quad \longrightarrow \quad 42<q$
  • $1<q-31⟶32<q$$1<q-31\quad \longrightarrow \quad 32<q$
  • $9<q-31⟶40<q$$9<q-31\quad \longrightarrow \quad 40<q$

  $\therefore 42<q$$\therefore~ 42<q$

• $a_2,a_6$$a_2,~a_6$에 대한 조건을 이용하자.

  • $21\ge q-31⟶q\le 52$$21\ge q-31\quad \longrightarrow \quad q\le 52$
  • $19\ge q-31⟶q\le 50$$19\ge q-31\quad \longrightarrow \quad q\le 50$

  $\therefore q\le 50$$\therefore~ q\le 50$

$\therefore 42<q\le 50$$\therefore~ 42<q\le 50$

v. 답을 구하자!

$43+44+\cdots +50=\frac{(50-43+1)(43+50)}{2}=4\times 93=372$$43+44+\cdots +50=\cfrac {(50-43+1)(43+50)}2=4\times 93=372$

$\therefore 372$$\therefore~ 372$