2026학년도 06월 미적분 29번

29. 두 정수 $\alpha ,\beta (\alpha >\beta )$$\alpha,~\beta~(\alpha>\beta)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 있다.

모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $a_n=\alpha \times \sin \frac{n}{2}\pi +\beta \cos \frac{n}{2}\pi$$a_n=\alpha\times \sin\cfrac n2 \pi +\beta\cos\cfrac n2\pi$이고, $a_1\times a_2\times a_3\times a_4=4$$a_1\times a_2\times a_3\times a_4=4$이다.

수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$과 $b_1>0$$b_1>0$인 등비수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$에 대하여 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{4n-2}{b}_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{4n-3}{b}_{2n})=6$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{4n-2}b_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{4n-3}b_{2n})=6$일 때, $b_1\times b_3=\frac{q}{p}$$b_1\times b_3=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

---

i. 정리

• $a_1,a_2,a_3,a_4$$a_1,~a_2,~a_3,~a_4$를 구하자.

  $a_1=\alpha ,a_2=-\beta ,a_3=-\alpha ,a_4=\beta$$a_1=\alpha,~a_2=-\beta,~a_3=-\alpha,~a_4=\beta$

  ${\alpha }^2{\beta }^2=4$$\alpha^2 \beta^2 =4$

  순서쌍 $(\alpha ,\beta )=(1,-2),(2,1),(2,-1),(-1,-2)$$(\alpha,~\beta)=(1,~-2),~(2,~1),~(2,~-1),~(-1,~-2)$

• $a_n$$a_n$을 살펴보면,

  $a_{n+4}=a_n$$a_{n+4}=a_n$

  $a_{4n-2}=a_2=-\beta$$a_{4n-2}=a_2=-\beta$

  $a_{4n-3}=a_1=\alpha$$a_{4n-3}=a_1=\alpha$

• $b_n=b_1{r}^{n-1}$$b_n=b_1r^{n-1}$이라 하자. $b_1>0$$b_1>0$

ii. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{4n-2}{b}_n)=6$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(a_{4n-2}b_n\big)=6$

$a_{4n-2}{b}_n=-\beta b_1{r}^{n-1}$$a_{4n-2}b_n=-\beta b_1 r^{n-1}$

$\therefore a_{4n-2}{b}_n$$\therefore~ a_{4n-2}b_n$은 첫째항이 $-\beta b_1$$-\beta b_1$이고 공비가 $r$$r$인 등비수열이다.

그리고, 수열이 수렴하니까 $|r|<1$$|r|<1$이다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{4n-2}{b}_n)=\frac{-\beta b_1}{1-r}=6$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(a_{4n-2}b_n\big)=\cfrac {-\beta b_1}{1-r}=6$

$b_1>0,|r|<1$$b_1>0,~|r|<1$이므로 $\beta <0$$\beta<0$

가능한 $(\alpha ,\beta )$$(\alpha,~\beta)$의 순서쌍은 $(1,-2),(2,-1),(-1,-2)$$(1,~-2),~(2,~-1),~(-1,~-2)$로 좁혀졌다!

iii. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{4n-3}{b}_{2n})=6$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{4n-3}b_{2n})=6$

위와 마찬가지로 접근하면,

$\frac{\alpha b_{1}r}{(1-r)(1+r)}=6$$\cfrac {\alpha b_1 r}{(1-r)(1+r)}=6$

i. $\beta =-2$$\beta=-2$이면,

$\frac{b_1}{1-r}=3$$\cfrac {b_1}{1-r}=3$이므로,

위의 식은 $\frac{\alpha r}{1+r}=2$$\cfrac {\alpha r}{1+r}=2$

i. $\alpha =1$$\alpha =1$이면 $r=-2$$r=-2$로 위배!

ii. $\alpha =-1$$\alpha =-1$이면 $r=-\frac{2}{3}$$r=-\cfrac 23$으로 가능하다

ii. $\beta =-1$$\beta=-1$이면 $\alpha =2$$\alpha =2$

$r=1$$r=1$이므로 위배!

$\therefore (\alpha ,\beta )=(-1,-2)$$\therefore~ (\alpha,~\beta)=(-1,~-2)$이고 $r=-\frac{2}{3}$$r=-\cfrac 23$

iv. 계산

$\frac{\beta b_1}{1-r}=-6$$\cfrac {\beta b_1}{1-r}=-6$에서 $\frac{-2b_1}{\frac{5}{3}}=-6$$\cfrac {-2b_1}{\cfrac 53}=-6$

$\therefore b_1=5$$\therefore~ b_1=5$

$b_1\times b_3=b_1^2{r}^2=5^2(-\frac{2}{3}{)}^2=\frac{100}{9}$$b_1\times b_3=b_1^2 r^2=5^2 (-\cfrac 23)^2 =\cfrac {100}9$

$\therefore p+q=109$$\therefore~ p+q=109$