2025년 05월 미적분 29번

29. 그림과 같이 $\overline{AB}=\sqrt{3},\overline{BC}=2$$\overline{AB}=\sqrt 3,~\overline{BC}=2$이고 $\mathrm{\angle }CBA=\frac{\pi }{2}$$\angle CBA=\cfrac{\pi}2$인 직각삼각형 $ABC$$ABC$와 선분 $BC$$BC$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $BC$$BC$ 위의 점 $P$$P$에 대하여 $\mathrm{\angle }BAP=\theta$$\angle BAP=\theta$일 때, 삼각형 $ABP$$ABP$의 넓이를 $f(\theta )$$f(\theta)$라 하자. $20f^{\prime }(\frac{\pi }{6})$$20f'\big(\cfrac{\pi}6\big)$의 값을 구하시오. (단, 점 $P$$P$는 점 $B$$B$가 아니다.)

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i. 생각

• 우선 원의 중심을 표시해놓고,

• 원주각, 사인법칙, 제2코사인법칙을 염두에 두자.

• 혹시 특수각이 있난가?

• $\overline{BC}=2⟶\overline{OB}=1$$\overline{ BC}=2\quad \longrightarrow \quad \overline{ OB}=1$

  $\overline{AB}=\sqrt{3}$$\overline{ AB}=\sqrt 3$

  어?

  $\mathrm{\angle }OAB=\frac{\pi }{6}$$\angle OAB=\cfrac{\pi}6$ 특수각이다!!!!

ii. 생각

• $\mathrm{△}ABP$$\triangle ABP$의 넓이는?

  $\overline{AP}$$\overline{AP}$와 $\overline{BC}$$\overline{BC}$의 교점을 $D$$D$라 하면,

  $\mathrm{△}ABP=\mathrm{△}ABD+\mathrm{△}BDP$$\triangle ABP=\triangle ABD+\triangle BDP$라 할 수 있다...그런데...상당히 복잡해지네? $\theta$$\theta$를 이용하려고 해도...

  $f(\theta )=\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\times \overline{AP}\cdot \sin \theta$$f(\theta)=\cfrac 12 \cdot \overline{AB}\times \overline{AP}\cdot \sin \theta$로 표현이 가능하다...음. 좀 간단해 보이네..

  $\overline{AB}=\sqrt{3}(\because \mathrm{△}ABO$$\overline{AB}=\sqrt 3\quad (\because ~\triangle ABO$는 특수각을 가진 삼각형이다!$)$$)$

• $\overline{AP}$$\overline{AP}$는 어떻게 구할까...?

  특수각을 이용하는가보다. ($\overline{OA}=2,\overline{OP}=1$$\overline{OA}=2,~\overline{OP}=1$)

  경우가 나뉘긴 하네..

  i. $0<\theta <\frac{\pi }{6}$$0<\theta<\cfrac{\pi}6$

  ii. $\frac{\pi }{6}\le \theta <$$\cfrac{\pi}6\le \theta<$대충 맞는 각 일 때?

  $\overline{AP}$$\overline{AP}$는 삼각형 $OAP$$OAP$에서 $\mathrm{\angle }OAP$$\angle OAP$를 $\theta$$\theta$를 이용하여 표현할 수 있겠다?

  $\begin{array}{c}\mathrm{\angle }OAP=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{6}-\theta & (0<\theta <\frac{\pi }{6})\\ \theta -\frac{\pi }{6}\end{array}\end{array}$$\angle OAP=\begin{cases} \cfrac{\pi}6-\theta&(0<\theta<\cfrac{\pi}6)\\ \theta-\cfrac{\pi}6 \end{cases}$

  음...둘다 계산해서 값이 다를 리가 없겠지?

  그럼 주어진 그림과 같은 경우만 계산하자.

• $\overline{AP}$$\overline{AP}$를 계산하자.

  ${\overline{OP}}^2={\overline{AO}}^2+{\overline{AP}}^2-2\overline{AO}\cdot \overline{AP}\cos (\frac{\pi }{6}-\theta )$$\overline{OP}^2 =\overline{AO}^2 +\overline{AP}^2 -2\overline{AO}\cdot \overline{AP} \cos \big(\cfrac {\pi}6-\theta\big)$

  오우....편의상 $\overline{AP}=t$$\overline{AP}=t$라 하자..

  $1=4+t^2-2t\cos (\frac{\pi }{6}-\theta )$$1=4+t^2 -2t\cos(\cfrac{\pi}6-\theta)$

  뭐...$t$$t$에 대해서 풀 수 있는데.....식이 더럽고......또 두 근 중의 하나를 선택해야하네...?

  계산 해야하나?

  $f(\theta )$$f(\theta)$를 살펴보자.

  $f(\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2}t\sin \theta$$f(\theta)=\cfrac{\sqrt3}2t\sin\theta$

  어? $f^{\prime }(\theta )=\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{dt}{d\theta }\sin \theta +t\cos \theta )$$f'(\theta)=\cfrac{\sqrt3}2 (\cfrac {dt}{d\theta}\sin\theta+t\cos\theta)$

  $\frac{dt}{d\theta }$$\cfrac{dt}{d\theta}$만 구하면 된다!!!

iii. 계산

• $\frac{dt}{d\theta }$$\cfrac{dt}{d\theta}$를 구하자.

  $2t\frac{dt}{d\theta }-2\frac{dt}{d\theta }\cos (\frac{\pi }{6}-\theta )-2t\sin (\frac{\pi }{6}-\theta )$$2t\cfrac{dt}{d\theta} -2\cfrac{dt}{d\theta}\cos\big(\cfrac{\pi}6-\theta\big)-2t\sin\big(\cfrac{\pi}6-\theta\big)$

  어우...이걸 또 정리하긴 귀찮다...

  $\frac{dt}{d\theta }{|}_{\theta =\frac{\pi }{6}}$$\cfrac{dt}{d\theta}\Big|_{\theta=\cfrac{\pi}6}$를 구하자.

  $\theta =\frac{\pi }{6}$$\theta=\cfrac{\pi}6$일 때, $t=3$$t=3$ 그리고 이를 대입하면, $\frac{dt}{d\theta }{|}_{\theta =\frac{\pi }{6}}=0$$\cfrac{dt}{d\theta}\Big|_{\theta=\cfrac{\pi}6}=0$ 에?

당연히 계산을 생략하면,

$f^{\prime }(\frac{\pi }{6})=\frac{9}{4}$$f'(\cfrac{\pi}6)=\cfrac 94$

$\therefore 20f^{\prime }(\frac{\pi }{6})=45$$\therefore~ 20f'\big(\cfrac{\pi}6\big)=45$