2025년 03월 미적분 29번

29. 그림과 같이 자연수 $n(n\ge 2)$$n(n\ge 2)$에 대하여 중심이 $C$$C$이고 반지름의 길이가 $n$$n$인 원 $O$$O$와 $\overline{AB}=2$$\overline{AB}=2$를 만족시키는 원 $O$$O$ 위의 두 점 $A,B$$A,~B$가 있다. $\mathrm{\angle }BAC$$\angle BAC$를 이등분하는 직선이 원 $O$$O$와 만나는 점 중 $A$$A$가 아닌 점을 $D$$D$라 하자. 점 $B$$B$를 포함하지 않는 호 $AD$$AD$ 위의 점 $E$$E$에 대하여 $\overline{BD}:\overline{DE}=\sqrt{2}:1$$\overline{BD}:\overline{DE}=\sqrt{2}:1$일 때, 삼각형 $CDE$$CDE$의 넓이를 $S_n$$S_n$이라 하면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{\sqrt{3}}{4}n-\frac{S_n}{n}\}=\frac{q}{p}\sqrt{3}$$\lim\limits_{n\to\infty} \Big\{\cfrac {\sqrt 3}4n-\cfrac{S_n}n\Big\}=\cfrac qp\sqrt 3$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 사인법칙, 제2코사인법칙을 염두에 두자.

• 원주각을 이용할 수 있나?

• $\mathrm{△}CDE$$\triangle CDE$의 넓이는 어떻게 구할까?

  $\overline{BD}:\overline{DE}=\sqrt{2}:1$$\overline{BD}:\overline{DE}=\sqrt{2}:1$가 조건으로 주어진 걸 보아 $\overline{DE}$$\overline{DE}$를 구하면 되겠다.

  점 $C$$C$에서 $\overline{DE}$$\overline{DE}$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하면,

  $S_n=\frac{1}{2}\overline{DE}\times \overline{CH}$$S_n=\cfrac 12 \overline{DE}\times\overline{CH}$

  $\overline{CH}$$\overline{CH}$는 $\mathrm{△}CDH$$\triangle CDH$에서 피타고라스의 정리를 이용하면 되겠다.

   

  그러면, $\overline{BD}$$\overline{BD}$를 구하면 된다!

ii. $\overline{BD}$$\overline{BD}$를 어떻게 구할까?

• $\mathrm{\angle }BCD$$\angle BCD$를 구하면?

  $\overline{BD}$$\overline{BD}$의 원주각은 $\bullet$$\bull$ 이니까, $\mathrm{\angle }BCD=2\bullet$$\angle BCD=2\bull$이다!

  $\mathrm{△}BCD$$\triangle BCD$에서 제2코사인법칙을 쓰거나 $\cos \bullet$$\cos \bull$의 값을 알면 되겠다!

iii. 풀자

우선 그림에 보조선을 그어놓고 시작하자.

i. $\cos 2\bullet =\frac{1}{n}$$\cos 2\bull=\cfrac 1n$에서

$\cos 2\bullet ={\cos }^2\bullet -{\sin }^2\bullet =1-2{\cos }^2\bullet$$\cos 2\bull=\cos^2 \bull -\sin^2 \bull=1-2\cos^2 \bull$

$\frac{n-1}{2n}={\cos }^2\bullet$$\cfrac {n-1}{2n}=\cos ^2 \bull$

$\cos \bullet =\sqrt{\frac{n-1}{2n}}(\because \mathrm{\angle }BAC<\frac{\pi }{2})$$\cos \bull=\sqrt{\cfrac {n-1}{2n}}\quad (\because~\angle BAC<\cfrac {\pi}2)$

ii. $\overline{BD}$$\overline{BD}$를 구하자.

$\overline{BD}:\overline{DE}=\sqrt{2}:1=2\sqrt{2}\alpha :2\alpha$$\overline{BD}:\overline{DE}=\sqrt 2:1 =2\sqrt 2\alpha:2\alpha$라 하면,

$\cos \bullet =\frac{\sqrt{2}\alpha }{n}=\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$$\cos \bull=\cfrac {\sqrt 2\alpha}n=\sqrt{\cfrac {n-1}{2n}}$

$\therefore \alpha =\frac{1}{2}\sqrt{n(n-1)}$$\therefore~ \alpha =\cfrac 12\sqrt{n(n-1)}$

$\overline{DE}=\sqrt{n^2-n}$$\overline{DE}=\sqrt{n^2-n}$

iii. $\overline{CH}$$\overline{CH}$를 구하자.

${\overline{CH}}^2+{\overline{DH}}^2=n^2$$\overline{CH}^2 +\overline{DH}^2 =n^2$

$\therefore \overline{CH}=\frac{1}{2}\sqrt{3n^2+n}$$\therefore~ \overline{CH}=\cfrac 12 \sqrt{3n^2 +n}$

iv. $S_n$$S_n$을 구하자.

$S_n=\frac{1}{4}\sqrt{n^2(n-1)(3n+1)}=\frac{n}{4}\sqrt{(n-1)(3n+1)}$$S_n=\cfrac 14 \sqrt{n^2(n-1)(3n+1)}=\cfrac n4\sqrt{(n-1)(3n+1)}$

iv. 마지막 계산

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\sqrt{3}}{4}n-\frac{S_n}{n})& =\frac{1}{4}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{3}n-\sqrt{3n^2-2n-1})\\ & =\frac{1}{4}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+1}{\sqrt{3}n+\sqrt{3n^2-2n-1}}\\ & =\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{2\sqrt{3}}\\ & =\frac{1}{12}\sqrt{3}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\cfrac {\sqrt3}4n-\cfrac {S_n}n\Big)&=\cfrac 14\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\sqrt3n-\sqrt{3n^2-2n-1}\Big) \\ &= \cfrac 14 \lim\limits_{n\to\infty} \cfrac {2n+1}{\sqrt{3}n+\sqrt{3n^2-2n-1}} \\ &=\cfrac 14 \cdot \cfrac {2}{2\sqrt3}\\&=\cfrac 1{12}\sqrt3\end{aligned}$

$\therefore p+q=13$$\therefore~ p+q=13$