2025년 03월 미적분 30번

30. 함수 $f(x)$$f(x)$는 $0\le x<2$$0\le x<2$일 때, $f(x)=x(2-x)$$f(x)=x(2-x)$이고 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x+2)=f(x)$$f(x+2)=f(x)$이다. 공비가 $r$$r$인 등비수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 수렴하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $r$$r$은 유리수이다.

(나) 함수 $f(x)$$f(x)$가 $x=a_k$$x=a_k$에서 극값을 갖고 $0<a_k<10$$0<a_k<10$인 자연수 $k$$k$의 개수는 $3$$3$이다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1{a}_{n+1}+a_{2n}}{a_{n+1}+a_n}=\frac{81}{10}$$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac{a_1a_{n+1}+a_{2n}}{a_{n+1}+a_n}=\cfrac{81}{10}$일 때, $a_7=\frac{q}{p}$$a_7=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$$p,~q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $f(x)$$f(x)$는 주기함수이고 극값은 정수임을 알 수 있다.

• $a_n=a_1{r}^{n-1}$$a_n=a_1 r^{n-1}$이라 하면, $|r|<1$$|r|<1$이다.

• $a_{k_1},a_{k_2},a_{k_3}$$a_{k_1},~a_{k_2},~a_{k_3}$가 가능한 순서쌍을 생각해보자.

  어....다음에 알아보자...

ii. 생각

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1{a}_{n+1}+a_{2n}}{a_{n+1}+a_n}=\frac{81}{10}$$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac{a_1a_{n+1}+a_{2n}}{a_{n+1}+a_n}=\cfrac{81}{10}$를 이용하자.

  $\begin{array}{rl}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1^{2}r+a_1{r}^n}{a_{1}r+a_1}\\ & =\frac{a_{1}r}{r+1}=\frac{81}{10}\end{array}$$\begin{aligned} &=\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{a_1^2 r+a_1r^n}{a_1r+a_1}\\&=\cfrac{a_1r}{r+1}=\cfrac{81}{10}\end{aligned}$

• 가능한 $r$$r$의 값은?

  $r=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\cdots$$r=\cfrac 12,~\cfrac 13,~\cfrac 23,~\cfrac 14,~\cfrac 34\cdots$

  음...우선 $a_1$$a_1$을 정리하자.

  $a_1=\frac{81}{10}\cdot \frac{r+1}{r}$$a_1=\cfrac {81}{10}\cdot \cfrac {r+1}r$

• $r=\frac{1}{2}$$r=\cfrac 12$일 때,

  $a_1=\frac{3^4}{2\cdot 5}\cdot \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{3^5}{2\cdot 5}$$a_1=\cfrac {3^4}{2\cdot 5}\cdot \cfrac{\cfrac 32}{\cfrac 12}=\cfrac {3^5}{2\cdot 5}$

  $a_n$$a_n$은 정수가 될 수 없다.

• $r=\frac{1}{3}$$r=\cfrac 13$일 때,

  $a_1=\frac{3^4}{2\cdot 5}\cdot \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\cdot 3^4}{5}$$a_1=\cfrac {3^4}{2\cdot 5}\cdot\cfrac{\cfrac 43}{\cfrac 13}=\cfrac {2\cdot 3^4}5$

  $a_n$$a_n$은 정수가 될 수 없다!

• $r=\frac{2}{3}$$r=\cfrac 23$일 때,

  $a_1=\frac{3^4}{2\cdot 5}\cdot \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{3^4}{2^2}$$a_1=\cfrac {3^4}{2\cdot 5}\cdot\cfrac{\cfrac 53}{\cfrac 23}=\cfrac {3^4}{2^2}$

  $a_n=(\frac{3^4}{2^2})(\frac{2}{3}{)}^{n-1}$$a_n=\big(\cfrac {3^4}{2^2}\big)\big(\cfrac 23\big)^{n-1}$

  에서 $a_3=9,a_4=6,a_5=4$$a_3=9,~a_4=6,~a_5=4$이고 조건 (나)를 만족한다!!!

iii. 계산

$a_7=\frac{3^4}{2^2}\cdot \frac{2^6}{3^6}=\frac{2^4}{3^2}=\frac{16}{9}$$a_7=\cfrac {3^4}{2^2}\cdot \cfrac {2^6}{3^6}=\cfrac{2^4}{3^2}=\cfrac {16}9$

$\therefore p+q=25$$\therefore~ p+q=25$