2025년 05월 미적분 30번

30. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$을 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{b}_n=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^n& (a_n<1)\\ \\ a_n& (a_n\ge 1)\end{array}\end{array}$$b_n=\begin{cases} (-1)^n &(a_n<1)\\ \\ a_n &(a_n\ge 1)\end{cases}$이라 할 때, 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n})$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n}\Big)$은 수렴한다.

(나) $b_5=b_4{b}_6-\frac{9}{4}$$b_5=b_4b_6 -\cfrac 94$

$90a_3$$90a_3$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a_n=a_1{r}^{n-1}$$a_n=a_1 r^{n-1}$이라 하자.

• $c_n=3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n}$$c_n=3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n}$이라 하면,

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n})=0$$\lim\limits_{ n\to\infty}\Big(3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n}\Big)=0$

  아...정확하게는 어떤 자연수 $m$$m$이 존재해서 $(b_{3m-2},b_{3m-1},b_{3m})=(a_{3m-2},a_{3m-1},a_{3m})$$(b_{3m-2},~b_{3m-1},~b_{3m})=(a_{3m-2},~a_{3m-1},~a_{3m})$이 된다고 하면,

  $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n})=0$$\lim\limits_{m\to\infty}\Big(3b_{3n-2}-7b_{3n-1}+2b_{3n}\Big)=0$이라 생각하자.

   

  $\because \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n$$\because ~\sum\limits_{n=1}^{\infty} S_n$이 수렴하면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=0$$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=0$이다.

• $b_4,b_5,b_6$$b_4,~b_5,~b_6$은 등비수열이 아니다!

  $(b_4,b_5,b_6)$$(b_4,~b_5,~b_6)$의 순서쌍은 $(1,-1,1)$$(1,~-1,~1)$이 될 수 없다!

  즉, 가능한 순서쌍은 $(1,a_5,a_6),(1,-1,a_6)$$(1,~a_5,~a_6),~(1,~-1,~a_6)$ 이 두 가지 경우만 가능하다!

• 또 생각할 수 있는 것이 있을까...?

  $0<r$$0<r$이고, $a_1>0$$a_1>0$이다.

  $0<r<1$$0<r<1$이면, $c_n$$c_n$은 발산할 수 밖에 없다. ($\because$$\because$ $a_n$$a_n$은 감소하는 등비수열이고 $n$$n$이 충분히 커지면 $b_n=(-1{)}^n$$b_n=(-1)^n$이 되어서 수렴이 불가능하다! $3n-2$$3n-2$가 홀수일 때, $c_n=-3-7-2\ne 0$$c_n=-3-7-2\neq 0$이고 짝수일 때도 $0$$0$이 아니다.)

  그러면, $1<r$$1<r$이네?

ii. 할 수 있는 것 부터 하자.

• $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(3b_{3m-2}-7b_{3m-1}+2b_{3m})=0$$\lim\limits_{ m\to\infty}\Big(3b_{3m-2}-7b_{3m-1}+2b_{3m}\Big)=0$

  $a_n=a_1{r}^{n-1}$$a_n=a_1r^{n-1}$을 이용하면,

  $\begin{array}{rl}\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(3b_{3m-2}-7b_{3m-1}+2b_{3m})& =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(3a_{3m-2}-7a_{3m-1}+2a_{3m})\\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(3a_1{r}^{3m-3}-7a_1{r}^{3m-2}+2a_1{r}^{3m-1}\\ & =a_1\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^{3m-3}(3-7r+2r^2)\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{ m\to\infty}\Big(3b_{3m-2}-7b_{3m-1}+2b_{3m}\Big)&=\lim\limits_{m\to\infty} \Big(3a_{3m-2}-7a_{3m-1}+2a_{3m}\Big)\\ &=\lim\limits_{m\to\infty} \Big(3a_1r^{3m-3}-7a_1r^{3m-2}+2a_1r^{3m-1}\\ &=a_1 \lim\limits_{m\to\infty} r^{3m-3}\Big(3-7r +2r^2\Big)\end{aligned}$

  $\therefore 2r^2-7r+3=0$$\therefore~ 2r^2 -7r+3=0$

  $r=3$$r=3$이다!!!

  $\therefore a_n=a_1{3}^{n-1}$$\therefore~ a_n=a_1 3^{n-1}$

• $(b_4,b_5,b_6)=(1,a_5,a_6)$$(b_4,~b_5,~b_6)=(1,~a_5,~a_6)$일 때,

  $a_6-\frac{9}{4}=a_5^2⟶3a_5-\frac{9}{4}=a_5^2$$a_6-\cfrac 94 =a_5^2\quad \longrightarrow \quad 3a_5-\cfrac 94=a_5^2$

  을 풀면, $a_5=\frac{3}{2}$$a_5=\cfrac 32$이고, $a_4=\frac{1}{2}$$a_4=\cfrac 12$로 조건에 맞는다!!

• $(b_4,b_5,b_6)=(1,-1,a_6)$$(b_4,~b_5,~b_6)=(1,~-1,~a_6)$일 때,

  이미 위에서 구했지만....혹시 모르니...

  $a_6-\frac{9}{4}=1$$a_6-\cfrac 94=1$

  $a_6=\frac{13}{4}$$a_6=\cfrac{13}4$

  $a_5=\frac{13}{12}>1$$a_5=\cfrac {13}{12}>1$이므로 위배된다!!!

iii. 계산

$a_4=\frac{1}{2}⟶a_3=\frac{1}{6}$$a_4=\cfrac 12\quad \longrightarrow \quad a_3=\cfrac 16$

$\therefore 90a_3=15$$\therefore~ 90a_3=15$