2026학년도 06월 미적분 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=|f(\frac{2}{1+e^{-x}})|$$g(x)=\Big| f\big(\cfrac 2{1+e^{-x}}\big)\Big|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=0$$x=0$에서 극소이고, $g(0)>0$$g(0)>0$이다.

(나) $g^{\prime }(\ln 3)<0,|g^{\prime }(-\ln 3)|=\frac{3}{8}g(-\ln 3)$$g'(\ln 3)<0,~|g'(-\ln 3)|=\cfrac 38g(-\ln 3)$

$g(0)$$g(0)$의 최솟값을 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$라 할 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소이다.)

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i. 정리

• $f(x)=x^3+\sim$$f(x)=x^3 +\sim$

• $h(x)=\frac{2}{1+e^{-x}}$$h(x)=\cfrac 2{1+e^{-x}}$라 하면, $g(x)=|f\circ h(x)|$$g(x)=\big| f\circ h(x)\big|$이다.

  $x$$x$의 정의역이 $-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$$-\infty\to \infty$일 동안 $h(x)$$h(x)$의 치역은 $0\to 2$$0\to 2$

  즉, $g(x)$$g(x)$의 정의역이 $-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }$$-\infty\to\infty$일 때, 치역은 함수 $f(x)$$f(x)$의 정의역이 $0$$0$에서 $2$$2$까지 변하는 동안 나오는 치역과 같다. 정확한 구간은 $[0,2]$$[0,~2]$가 아니라 $(0,2)$$(0,~2)$이다.

  다시 말하면 실수 전체의 구간에서 대충 $f(x)$$f(x)$의 그래프 중 $(0,2)$$(0,~2)$의 구간에 그려지는 함수를 길게 늘인 것 처럼 생각하면 된다.

• $g(0)=|f(h(0))|=|f(1)|>0$$g(0)=|f(h(0))|=|f(1)|>0$

  $f(1)\ne 0$$f(1)\neq 0$이고, $f^{\prime }(1)=0$$f'(1)=0$이고 극소값이다!

• $g^{\prime }(x)$$g'(x)$를 어떻게 구할까?

  편의상 $j(x)=f\circ h(x)$$j(x)=f\circ h(x)$라 하면,

  $g(x)=|j(x)|$$g(x)=|j(x)|$이고, $g^{\prime }(x)$$g'(x)$는 $j^{\prime }(x)$$j'(x)$의 값을 그래프의 상황에 맞게 부호를 정하면 된다.

  편의상 $g^{\prime }(x)=$$g'(x)=$조건에 맞는 부호$\times |j^{\prime }(x)|$$\times |j'(x)|$

  $g^{\prime }(x)=$$g'(x)=$조건에 맞는 부호 $\times |f^{\prime }(h(x))h^{\prime }(x)|$$\times |f'(h(x))h'(x)|$ 로 보면 된다!!

• $h(\ln 3)=\frac{3}{2}$$h(\ln 3)=\cfrac 32$

• $h(-\ln 3)=\frac{1}{2}$$h(-\ln 3)=\cfrac 12$

ii. 생각

• 합성함수를 적극적으로 활용하자!

  • $g^{\prime }(\ln 3)=$$g'(\ln 3)=$조건에 맞는 부호 $|f^{\prime }(\frac{3}{2})\times h^{\prime }(\ln 3)|<0$$|f'(\cfrac 32)\times h'(\ln 3)|<0$

    $h^{\prime }(x)=\frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}$$h'(x)=\cfrac {2e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$이고 $h^{\prime }(x)>0$$h'(x)>0$이다.

    음....

    $f^{\prime }(1)$$f'(1)$은 극소값이고, $|f^{\prime }(\frac{3}{2})|<0$$|f'(\cfrac 32)|<0$이다.

    이걸로 그래프의 개형이 특정 가능할까?

    

    • $f(x)=0$$f(x)=0$의 실근이 $0$$0$보다 작으면 되고...

    • 그런데, $|f^{\prime }(\frac{3}{2})|$$|f'(\cfrac 32)|$의 부호는 절대로 음수가 될 수 없다!

    그럼 나머지 경우를 생각하자.

    

    • $f(x)=0$$f(x)=0$의 가장 큰 실근이 $2$$2$이상이고, 다른 근들은 존재하지 않거나 $0$$0$이하이면 된다.

    • $|f^{\prime }(\frac{3}{2})|$$|f'(\cfrac 32)|$의 부호는 음수가 된다!!!

    어???? 어??? $x=1$$x=1$에서 극소가 되야하는데????

    아!!!! 두번째 그래프고 극소값의 위치를 잘못 그렸다... 첫번째 그래프의 경우는 아예 나올 수가 없네. (미분가능해야 한다.)

    

    그래프에서 보듯이 $x=\alpha$$x=\alpha$에서 극댓값을 갖는다고 하면, $1<\alpha <\frac{3}{2}$$1<\alpha<\cfrac 32$이면 된다. 그리고 실근은 $2$$2$보다 크거나 같으면 된다.

  $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-\alpha )$$f'(x)=(x-1)(x-\alpha)$이고 $1<\alpha <\frac{3}{2}$$1<\alpha<\cfrac 32$로 볼 수 있다.

• $|g^{\prime }(-\ln 3)|=\frac{3}{8}g(-\ln 3)$$|g'(-\ln 3)|=\cfrac 38 g(-\ln 3)$을 이용하자.

  • $g^{\prime }(-\ln 3)$$g'(-\ln 3)$을 구하자.

    $g^{\prime }(x)=$$g'(x)=$조건에 맞는 부호 $\times |f^{\prime }(h(x))h^{\prime }(x)|$$\times |f'(h(x))h'(x)|$

    $h^{\prime }(x)=\frac{2e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}$$h'(x)=\cfrac {2e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$

    $h^{\prime }(-\ln 3)=\frac{3}{8}$$h'(-\ln 3)=\cfrac 38$ 어?????

    $g^{\prime }(-\ln 3)=$$g'(-\ln 3)=$조건에 맞는 부호 $\times \frac{3}{8}\times |f^{\prime }(\frac{1}{2})|$$\times \cfrac 38\times |f'(\cfrac 12)|$

    $\therefore g^{\prime }(-\ln 3)=-\frac{3}{8}\times f^{\prime }(\frac{1}{2})$$\therefore~ g'(-\ln 3)=-\cfrac 38 \times f'(\cfrac 12)$

  • $g(-\ln 3)$$g(-\ln 3)$을 구하자.

    $g(-\ln 3)=|f(\frac{1}{2})|$$g(-\ln 3)=|f(\cfrac 12)|$

    그래프를 확인해보면, $g(-\ln 3)=-f(\frac{1}{2})$$g(-\ln 3)=-f(\cfrac 12)$임을 알 수 있다.

  주어진 등식을 풀면,

  $\frac{3}{8}{f}^{\prime }(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}f(\frac{1}{2})$$\cfrac 38 f'(\cfrac 12)=-\cfrac 38f(\cfrac 12)$

  $\therefore f^{\prime }(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})$$\therefore~ f'(\cfrac 12)=f(\cfrac 12)$

  어우야...........계산 더럽잖아....계산해야하나?

• $g(0)=-f(1)$$g(0)=-f(1)$

  어우야...계산해야하네...

iii. 계산

• $f^{\prime }(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})$$f'(\cfrac 12)=f(\cfrac 12)$를 풀자.

  $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-\alpha )(1<\alpha <\frac{3}{2})$$f'(x)=3(x-1)(x-\alpha)\quad (1<\alpha <\cfrac 32)$

  $f(x)=x^3-\frac{3}{2}(1+\alpha )x^2+3\alpha x+C$$f(x)=x^3 -\cfrac 32(1+\alpha)x^2 +3\alpha x +C$

  이를 풀면, $C=1-\frac{21}{8}\alpha$$C=1-\cfrac {21}8 \alpha$

  $\therefore f(x)=x^3-\frac{3}{2}(1+\alpha )x^2+3\alpha x+1-\frac{21}{8}\alpha$$\therefore~ f(x)=x^3 -\cfrac 32 (1+\alpha)x^2 +3\alpha x +1-\cfrac {21}8\alpha$

• $g(0)$$g(0)$을 구하자.

  $\begin{array}{rl}g(0)& =-f(1)\\ & =-1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\alpha -3\alpha -1+\frac{21}{8}\alpha \\ & =-\frac{1}{2}+\frac{9}{8}\alpha \end{array}$$\begin{aligned} g(0)&=-f(1)\\ &=-1+\cfrac 32 +\cfrac 32 \alpha-3\alpha-1 +\cfrac {21}8\alpha \\ &=-\cfrac 12 +\cfrac 98\alpha \end{aligned}$

   

  어...$\alpha$$\alpha$의 범위가....등호가 있어야 하는데....???

  아!! 그래프에서 $f(2)\ge 0$$f(2)\ge0$을 만족해야한다.

  $f(2)=3-\frac{21}{8}\alpha \le 0$$f(2)=3-\cfrac {21}8\alpha\le 0$

  $\therefore \frac{8}{7}\le \alpha$$\therefore~ \cfrac 87\le \alpha$

어우야....더럽다...

$g(0)$$g(0)$의 최솟값은 $\alpha =\frac{8}{7}$$\alpha=\cfrac 87$일 때이다.

$\therefore g(0)$$\therefore~ g(0)$의 최솟값은 $-\frac{1}{2}+\frac{9}{7}=\frac{11}{14}$$-\cfrac 12 +\cfrac 97=\cfrac {11}{14}$

$\therefore p+q=25$$\therefore~ p+q=25$