2025년 07월 미적분 29번

29. 첫째항이 자연수이고 공비가 $-\frac{1}{2}$$-\cfrac 12$인 등비수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|a_n+1|-a_n-1)=26$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(|a_n+1|-a_n-1\Big)=26$을 만족시킨다. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a_n=a_1(-\frac{1}{2}{)}^{n-1}$$a_n=a_1 (-\cfrac 12)^{n-1}$이고 $a_1\in \mathbb{N}$$a_1\in\mathbb N$

• $|a_n+1|$$|a_n+1|$의 부호에 따라서 $|a_n+1|-a_n-1$$|a_n+1|-a_n-1$의 값이 바뀐다...

• $b_n=|a_n+1|-a_n-1$$b_n=|a_n+1|-a_n-1$이라 하면,

  $\begin{array}{c}{b}_n=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{은 홀수})\\ |a_n+1|-a_n-1& (n\text{은 짝수})\end{array}\end{array}$$b_n=\begin{cases} 0&(n\text{은 홀수})\\ |a_n+1|-a_n-1 &(n\text{은 짝수})\end{cases}$

ii. 어?

• $a_n+1\ge 0$$a_n+1\ge 0$이면 $b_n=0$$b_n=0$이 된다.

• $a_n+1<0$$a_n+1<0$이면 $b_n=-2a_n-2$$b_n=-2a_n-2$가 된다??

$a_n<-1$$a_n<-1$인 $n$$n$의 최댓값을 $k$$k$라 하면, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|a_n+1|-a_n-1)=\sum _{n=1}^k{b}_n$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(|a_n+1|-a_n-1\Big)=\sum\limits_{n=1}^kb_n$임을 알 수 있다!!!!

$a_k<-1<a_{k+2}$$a_k<-1<a_{k+2}$를 만족해야한다. ($\because n$$\because n$은 짝수!!!)

iii. 풀자!

$a_k<-1$$a_k<-1$

$a_1(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}<-1\le a_1(-\frac{1}{2}{)}^{k+1}$$a_1(-\cfrac 12 )^{k-1}<-1\le a_1(-\cfrac 12)^{k+1}$

위 식을 보기 좋게 정리하면, $-a_1(\frac{1}{2}{)}^{k-1}<-1\le -a_1(\frac{1}{2}{)}^{k+1}$$-a_1(\cfrac 12)^{k-1}<-1\le -a_1(\cfrac 12 )^{k+1}$

$a_1>2^{k-1},a_1\le 2^{k+1}$$a_1>2^{k-1},~a_1\le 2^{k+1}$

$2^{k-1}<a_1\le 2^{k+1}$$2^{k-1}<a_1\le 2^{k+1}$

i. $k=2$$k=2$일 때,

$2<a_1\le 8$$2<a_1\le8$이고

$b_1+b_2=b_2=|-\frac{1}{2}{a}_1+1|+\frac{1}{2}{a}_1-1=a_1-2=26$$b_1+b_2=b_2=|-\cfrac 12 a_1 +1| +\cfrac 12 a_1 -1=a_1-2=26$

조건에 위배!

ii. $k=4$$k=4$

$b_1+b_2+b_3+b_4=b_2+b_4=a_1-2+\frac{1}{4}{a}_1-2=\frac{5}{4}{a}_1-4=26$$b_1+b_2+b_3+b_4=b_2+b_4=a_1-2+\cfrac 14 a_1-2=\cfrac 54a_1-4=26$

$a_1=24$$a_1=24$이고 $8<a_1\le 32$$8<a_1\le 32$이므로 조건에 맞다!

$\therefore a_n=24(\frac{1}{2}{)}^{n-1}$$\therefore~ a_n=24\Big(\cfrac 12 \Big)^{n-1}$

iv. 계산

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{24}{1+\frac{1}{2}}=16$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=\cfrac {24}{1+\cfrac 12}=16$