2026학년도 09월 미적분 28번

28. 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$$g(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)=g(x)-\tan g(x)$$f(x)=g(x)-\tan g(x)$이고 다음 조건을 만족시킬 때, $g^{\prime }(0)\times (g(0){)}^2$$g'(0)\times \Big(g(0)\Big)^2$의 값을 구하시오.

(가) $f(0)=0,f^{″}(\pi )=0$$f(0)=0,~f''(\pi)=0$

(나) $\sin g(\pi )=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\frac{3\pi }{2}$$\sin g(\pi)=0,~\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=\cfrac {3\pi}2$

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i. 정리

• $f(x)=a{x}^3+\sim$$f(x)=ax^3 +\sim$

• $f(0)=0,f^{″}(\pi )=0$$f(0)=0,~f''(\pi)=0$

  $f(x)=a(x-\pi {)}^3+b$$f(x)=a(x-\pi)^3 +b$

  $f(x)=a(x-\pi {)}^3+a{\pi }^3$$f(x)=a(x-\pi)^3 +a\pi^3$

• $g(x)$$g(x)$와 $f(x)$$f(x)$의 관계를 알아보자.

  • $f(0)=g(0)-\tan g(0)=0$$f(0)=g(0)-\tan g(0)=0$

    $\therefore g(0)=\tan g(0)$$\therefore~ g(0)=\tan g(0)$

  • $y=f(x)$$y=f(x)$를 미분해보자.

    $\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =g^{\prime }(x)-{\sec }^{2}g(x)\times g^{\prime }(x)\\ & =g^{\prime }(x)(1-{\sec }^{2}g(x))\\ & =-g^{\prime }(x){\tan }^{2}g(x)\end{array}$$\begin{aligned} f'(x)&=g'(x)-\sec^2 g(x)\times g'(x)\\ &= g'(x)\Big(1-\sec^2 g(x)\Big)\\ &= -g'(x)\tan^2 g(x)\end{aligned}$

    어? $x=0$$x=0$을 대입하면,

    $f^{\prime }(0)=-g^{\prime }(0){\tan }^{2}g(0)$$f'(0)=-g'(0)\tan ^2 g(0)$

    $g^{\prime }(0)\times (g(0){)}^2$$g'(0)\times \Big(g(0)\Big)^2$과 비슷해보인다??

    어? $g(0)=\tan g(0)$$g(0)=\tan g(0)$에서

    $g^{\prime }(0){\tan }^{2}g(0)=g^{\prime }(0)(g(0){)}^2$$g'(0)\tan^2 g(0)=g'(0)\Big(g(0)\Big)^2$

    $g^{\prime }(0)$$g'(0)$과 $g(0)$$g(0)$의 값을 알면 된다! 아니 아니....

     

    $f^{\prime }(0)=-g^{\prime }(0)(g(0){)}^2$$f'(0)=-g'(0)\big(g(0)\big)^2$

    $\therefore g^{\prime }(0)(g(0){)}^2=-f^{\prime }(0)$$\therefore~ g'(0)\big(g(0)\big)^2 =-f'(0)$

     

  • $f^{″}(x)$$f''(x)$는....나중에 필요하면 하자...계산이 길다.

• $\sin g(\pi )=0$$\sin g(\pi)=0$

  $g(\pi )=n\pi$$g(\pi)=n \pi$이고 $n\in \mathbb{Z}$$n\in \mathbb Z$(정수)

ii. 생각

• $a$$a$도 구해야 하고.....???

  $f(x)=g(x)-\tan g(x)$$f(x)=g(x)-\tan g(x)$에 $x=\pi$$x=\pi$를 대입해보자.

  $f(\pi )=g(\pi )-\tan g(\pi )$$f(\pi )=g(\pi)-\tan g(\pi)$에서 $\sin g(\pi )=0$$\sin g(\pi)=0$이므로 $\tan g(\pi )=0$$\tan g(\pi)=0$임을 이용할 수 있다!

  대입하면,

   

  $a{\pi }^3=n\pi$$a\pi^3 =n\pi$

  $\therefore a=\frac{n}{{\pi }^2}$$\therefore~ a=\cfrac n{\pi^2}$

  $\therefore f(x)=\frac{n}{{\pi }^2}(x-\pi {)}^3+n\pi$$\therefore~ f(x)=\cfrac n{\pi^2}(x-\pi)^3+n\pi$

• $f^{\prime }(0)$$f'(0)$을 구하자.

  $f^{\prime }(x)=\frac{3n}{{\pi }^2}(x-\pi {)}^2$$f'(x)=\cfrac {3n}{\pi^2} (x-\pi)^2$

  $f^{\prime }(0)=3n$$f'(0)=3n$

  $n$$n$을 구하자...????

• 아직 사용하지 않은 조건이...$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\frac{3}{2}\pi$$\lim\limits_{ x\to \infty}g(x)=\cfrac 32\pi$

  $g(\pi )=n\pi$$g(\pi)=n\pi$이고 $n$$n$은 정수인데...$x\to \mathrm{\infty }$$x\to \infty$이면 수렴한다...

  $y=g(x)$$y=g(x)$는 미분가능한 함수이다.

   

  힌트가 없나.......$\tan g(x)$$\tan g(x)$???

  $y=\tan x$$y=\tan x$의 개형을 보면... 주기함수이고 정의역과 치역이...어????

  $y=\tan g(x)$$y=\tan g(x)$는 주기함수가 아니라 딱 한 주기만 가능하다!!!! 미분가능한 함수!!!!! (예를 들면 $y=\tan x$$y=\tan x$이고 정의역이 $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi$$\cfrac {\pi }2 <x<\cfrac 32 \pi$ 처럼 말이다.)

   

  이를 이용하면, $\frac{\pi }{2}<g(x)<\frac{3}{2}\pi$$\cfrac \pi 2 <g(x)<\cfrac 32\pi$이거나 $\frac{3}{2}\pi <g(x)<\frac{5}{2}\pi$$\cfrac 32\pi<g(x)<\cfrac 52\pi$이다.

  즉, $g(\pi )=n\pi$$g(\pi)=n\pi$에서 $n=1,2$$n=1,~2$가 가능하다.

• $n$$n$을 어떻게 정하지??? 무슨 산 넘어 산이네....

  $f(x)=\frac{n}{{\pi }^2}(x-\pi {)}^3+n\pi$$f(x)=\cfrac n{\pi^2}(x-\pi)^3+n\pi$에서 $f(x)$$f(x)$는 증가함수이다. ($\because n=1,2$$\because ~n=1,~2$)

   

  $f^{\prime }(x)=-g^{\prime }(x){\tan }^{2}g(x)$$f'(x)=-g'(x)\tan ^2 g(x)$를 보면, ${\tan }^{2}g(x)\ge 0$$\tan ^2g(x)\ge 0$이므로 $g^{\prime }(x)<0$$g'(x)<0$이다.

  즉, $g(x)$$g(x)$는 감소함수이다!

  $\therefore n=2$$\therefore~ n=2$

iii. 계산

$f^{\prime }(0)=3n$$f'(0)=3n$에서 $f^{\prime }(0)=6$$f'(0)=6$

$\therefore g^{\prime }(0)(g(0){)}^2=-6$$\therefore~ g'(0)\big(g(0)\big)^2=-6$