2026학년도 09월 미적분 29번

29. 첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고, 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1+a_2<10$$a_1+a_2<10$

(나) 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 정수인 항의 개수는 $3$$3$이고, 이 세 항의 곱은 $216$$216$이다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{q}{p}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=\cfrac qp$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $a_1=a{r}^{n-1},a>0,|r|<1$$a_1=ar^{n-1},~a>0,~|r|<1$

• 정수인 세 항은 연속한 세 항일까?

  편의상 $r=\frac{\alpha }{\beta }$$r=\cfrac {\alpha}{\beta}$라 하면, ($|\alpha |,|\beta |$$|\alpha|,~|\beta|$는 서로소인 자연수이고, $\alpha$$\alpha$는 정수, $\beta$$\beta$는 자연수라 하자.)

  처음 나타나는 정수를 $m{\beta }^2$$m\beta^2$으로만 표현할 수 있다. 즉, 정수인 세 항은 연속된 세 항이다.

• 첫번째의 정수를 $\alpha$$\alpha$라 하면,

  $\alpha ,\alpha r,\alpha r^2$$\alpha, ~\alpha r,~\alpha r^2$이다.

  ${\alpha }^3{r}^3=216=6^3$$\alpha^3 r^3=216=6^3$

  $\therefore \alpha r=6$$\therefore~ \alpha r=6$

   

  즉, 세 항은 $\alpha ,6,\alpha r^2$$\alpha,~6,~\alpha r^2$이다.

ii. 생각

• $r$$r$를 구하자.

  $|r=\frac{6}{\alpha }|<1$$|r=\cfrac 6{\alpha}|<1$

  세 항을 다시 표현하면,

  $\alpha ,6,\frac{36}{\alpha }$$\alpha,~6, ~\cfrac{36}{\alpha}$

   

  $\alpha$$\alpha$는 정수이고, $36$$36$을 나머지 없이 나눌 수 있다!

  $\alpha =\pm 9,\pm 12,\pm 18,\pm 36$$\alpha=\pm 9,~\pm12,~\pm 18,~\pm 36$

  이를 이용해서 $r$$r$을 구하면, (편의상 절대값을 넣어서 쓰자....귀찮다..)

   

  $r=\pm \frac{2}{3},\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\pm \frac{1}{6}$$r=\pm \cfrac 23,~\pm \cfrac12,~\pm \cfrac13,~\pm \cfrac 16$

  $a_1+a_2<10$$a_1+a_2<10$인 조건도 살펴보면서 구해보자.

   

  • $r=\pm \frac{1}{k},k=2,3,6$$r=\pm \cfrac 1k,~k=2,~3,~6$을 살펴보자.

    $\alpha =a_1$$\alpha=a_1$이어야지만 정수조건을 만족시킬 수 있다.

    • $r>0$$r>0$이면 조건 (가)에 위배된다.

    • $r<0$$r<0$이면 $a_1<0$$a_1<0$이라 첫째항이 양수인 조건에 위배된다.

  • $r=\frac{2}{3}$$r=\cfrac 23$일 때,

    $\cdots ,9,4,6,\cdots$$\cdots ,~9,~4,~6,~\cdots$

    조건 (가)를 만족시킬 수 없다.

  • $r=-\frac{2}{3}$$r=-\cfrac 23$

    연속된 세 항의 곱이 양수이므로,

    $\cdots ,-9,4,-6,\cdots$$\cdots,~-9,~4,~-6,~\cdots$

    조건 (가)를 만족하는 첫째항을 구해야한다.

     

    $\cdots ,\frac{27}{2},-9,4,-6,\cdots$$\cdots,~\cfrac {27}2,~-9,~4,~-6,~\cdots$

    어? 딱 조건을 만족킨다!!!

    $\therefore a=\frac{27}{2}$$\therefore~ a=\cfrac {27}2$

iii. 계산

• $a_n=\frac{27}{2}(-\frac{2}{3}{)}^{n-1}$$a_n=\cfrac {27}2 \big(-\cfrac 23\big)^{n-1}$

$\therefore \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{\frac{27}{2}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{81}{10}$$\therefore~ \sum\limits_{ n=1}^{\infty}a_n=\cfrac{\cfrac {27}2}{1+\cfrac 23}=\cfrac {81}{10}$

$\therefore p+q=91$$\therefore~ p+q=91$