2025년 10월 미적분 28번

28. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)>0$$f(x)>0$이다. 상수 $k$$k$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $\begin{array}{r}g(x)={\int }_k^x{f}^{\prime }(t)\ln f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_k^x f'(t)\ln f(t)dt\end{aligned}$라 하자. 함수 $g(x)$$g(x)$가 $x=a$$x=a$에서 극대 또는 극소인 모든 $a$$a$를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$이다. 두 함수 $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(a_2)$$f(a_2)$의 값을 구하시오.

(가) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $g(x)\ge 0$$g(x)\ge 0$이다.

(나) $\begin{array}{r}{\int }_{a_1}^{a_3}(g(x)+f(x)-f(x)\ln f(x))dx=\frac{3}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \int_{a_1}^{a_3}\Big(g(x)+f(x)-f(x)\ln f(x)\Big)dx=\cfrac 32\end{aligned}$

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i. 정리

• $f(x)=x^2+\sim$$f(x)=x^2 +\sim$

• $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\ln f(x)$$g'(x)=f'(x)\ln f(x)$

  $g^{\prime }(x)=0$$g'(x)=0$을 생각하면,

  $f^{\prime }(x)=0,f(x)=1$$f'(x)=0,~f(x)=1$

  $f(x)=(x-a_2{)}^2+a$$f(x)=(x-a_2)^2 +a$이고 $f(x)=1$$f(x)=1$의 근은 $a_2-m,a_2+m$$a_2-m,~a_2+m$로 표현이 가능하다. ($m\in \mathbb{R})$$m\in \mathbb R)$

   

  $f(x)-1=(x-a_2+m)(x-a_2-m)$$f(x)-1=(x-a_2+m)(x-a_2-m)$

• $g(x)$$g(x)$가 부분적분이 되나....?

  $\begin{array}{rl}g(x)& =[f(t)\ln f(t){]}_k^x-{\int }_k^x\frac{f(t)}{f(t)}{f}^{\prime }(t)dt\\ & =[f(t)\ln f(t){]}_k^x-[f(t){]}_k^x\\ & =f(x)\ln f(x)-f(k)\ln (k)-f(x)+f(k)\\ & =f(x)(\ln f(x)-1)-f(k)(\ln f(k)-1)\end{array}$$\begin{aligned}g(x)&= \Big[f(t)\ln f(t)\Big]_k^x -\int_k^x\cfrac{f(t)}{f(t)}f'(t)dt\\ &= \Big[f(t)\ln f(t)\Big]_k^x -\Big[f(t)\Big]_k^x\\ &=f(x)\ln f(x)-f(k)\ln (k)-f(x)+f(k)\\ &=f(x)\Big(\ln f(x)-1\Big)-f(k)\Big(\ln f(k)-1\Big) \end{aligned}$

  $g(k)=0$$g(k)=0$이고 $g(x)\ge 0$$g(x)\ge 0$에서 $k$$k$는 극솟값 중의 하나 이다.

  그리고 $g(x)$$g(x)$의 극값이 $3$$3$개 이므로 대충 크게 보면 극대값과 극솟값을 가지는 $4$$4$차함수와 비슷하다.

  $\therefore f(k)=1$$\therefore~ f(k)=1$

  $\therefore g(x)=f(x)\ln f(x)-f(x)+1$$\therefore~ g(x)=f(x)\ln f(x)-f(x)+1$

ii. 계산인가....?

조건 (나)의 식을 계산하자.

$\begin{array}{rl}\text{준식}& ={\int }_{a_1}^{a_3}(f(x)\ln f(x)-f(x)+1+f(x)-f(x)\ln f(x))\\ & ={\int }_{a_1}^{a_3}dx\\ & =a_3-a_1\\ & =a_2+m-a_2+m\\ & =2m\\ & =\frac{3}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \text{준식}&= \int_{a_1}^{a_3} \Big(f(x)\ln f(x)-f(x)+1+f(x)-f(x)\ln f(x)\Big) \\ &=\int_{a_1}^{a_3} dx\\ &=a_3-a_1\\ &=a_2+m-a_2+m\\ &=2m\\ &=\cfrac 32\end{aligned}$

$\therefore m=\frac{3}{4}$$\therefore~ m=\cfrac 34$

$f(x)-1=(x-a_2+m)(x-a_2-m)$$f(x)-1=(x-a_2+m)(x-a_2-m)$에 대입하면,

$f(a_2)-1=-m^2$$f(a_2)-1=-m^2$

$\therefore f(a_2)=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$$\therefore~ f(a_2)=1-\cfrac 9{16}=\cfrac 7{16}$