2026학년도 09월 미적분 30번

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$$g(x)$는 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)=\ln (\frac{g(x)}{1+x{f}^{\prime }(x)})$$f(x)=\ln \Big(\cfrac{g(x)}{1+xf'(x)}\Big)$를 만족시킨다. $f(1)=4\ln 2$$f(1)=4\ln 2$이고 $\begin{array}{r}{\int }_1^{2}g(x)dx=34,{\int }_1^{2}xg(x)dx=53\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2g(x)dx =34,~\quad \int_1^2 xg(x)dx=53\end{aligned}$일 때, $\begin{array}{r}{\int }_1^{2}x{e}^{f(x)}dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2 xe^{f(x)}dx \end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $f(1)=\ln 2^4$$f(1)=\ln 2^4$

• $f(x)=\ln (\frac{g(x)}{1+x{f}^{\prime }(x)})$$f(x)=\ln \Big(\cfrac{g(x)}{1+xf'(x)}\Big)$를 정리하면 $e^{f(x)}$$e^{f(x)}$의 형태를 찾을 수 있겠다.

  $g(x)=(1+x{f}^{\prime }(x))e^{f(x)}$$g(x)=(1+xf'(x))e^{f(x)}$

  미분은 아직 아닌 거 같고... 적분하기에는 애매하다....

   

  $\begin{array}{r}{\int }_1^{2}g(x)dx=34\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2g(x)dx =34\end{aligned}$에 대입해봐야겠다.

• $\begin{array}{r}{\int }_1^{2}g(x)dx=34\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2g(x)dx =34\end{aligned}$에 대입하자.

  $\begin{array}{rl}{\int }_1^{2}g(x)dx& ={\int }_1^2(1+x{f}^{\prime }(x))e^{f(x)}\\ & =[x{e}^{f(x)}{]}_1^2\\ & =2e^{f(2)}-e^{f(1)}\\ & =34\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2g(x)dx &=\int_1^2(1+xf'(x))e^{f(x)}\\ &= \Big[xe^{f(x)}\Big]_1^2\\ &=2e^{f(2)}-e^{f(1)} \\ &=34\end{aligned}$

  어랏?

  계산하면, $e^{f(2)}=25$$e^{f(2)}=25$

   

  다음 식에 대입하면 뭐가 나올 거 같다?

ii. 계산인가...?

$\begin{array}{rl}{\int }_1^{2}xg(x)dx& ={\int }_1^{2}x(1+x{f}^{\prime }(x))e^{f(x)}dx\\ \\ & ={\int }_1^{2}x{e}^{f(x)}dx+{\int }_1^2{x}^2{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}dx\\ & =53\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2xg(x)dx &= \int_1^2 x(1+xf'(x))e^{f(x)}dx \\ \\ &=\int_1^2 xe^{f(x)}dx +\int_1^2 x^2f'(x)e^{f(x)}dx\\ &=53\end{aligned}$

오!!!

$\begin{array}{rl}{\int }_1^{2}x{e}^{f(x)}dx& =53-{\int }_1^2{x}^2{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_1^2xe^{f(x)} dx &=53-\int_1^2 x^2 f'(x)e^{f(x)}dx \end{aligned}$

 

iii. 계산이다!

$\begin{array}{rl}{\int }_1^2{x}^2{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}dx& =[x^2{e}^{f(x)}{]}_1^2-2{\int }_1^{2}x{e}^{f(x)}dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_1^2 x^2 f'(x)e^{f(x)}dx&= \Big[x^2 e^{f(x)} \Big]_1^2-2\int_1^2 xe^{f(x)}dx \end{aligned}$

오....편의상 $\begin{array}{r}T={\int }_1^{2}x{e}^{f(x)}dx\end{array}$$\begin{aligned} T=\int_1^2 xe^{f(x)}dx\end{aligned}$이라 하면,

 

$\begin{array}{r}T=53-[x^2{e}^{f(x)}{]}_1^2+2T\end{array}$$\begin{aligned} T=53-\Big[x^2 e^{f(x)}\Big]_1^2+2T \end{aligned}$

$\begin{array}{rl}T& =[x^2{e}^{f(x)}{]}_1^2-53\\ & =4e^{f(2)}-e^{f(1)}\\ & =100-16-53\\ & =31\end{array}$$\begin{aligned} T&=\Big[x^2 e^{f(x)}\Big]_1^2 -53\\ &= 4e^{f(2)}-e^{f(1)}\\ &=100-16-53\\ &= 31\end{aligned}$

$\therefore \begin{array}{r}{\int }_1^{2}x{e}^{f(x)}dx=31\end{array}$$\therefore~ \begin{aligned}\int_1^2 xe^{f(x)}dx=31 \end{aligned}$