02. 합성함수 그리기

I. 합성함수

1. 정의

   $f:X\to Y,g:Y\to Z$$f:X\to Y,~g:Y\to Z$ 가 주어졌을 때, $h:X\to Z$$h:X\to Z$를 합성함수 한다.

   • $h(x)=g(f(x))=(g\circ f)(x)$$h(x)=g(f(x))=(g\circ f)(x)$
   • 일반적으로 $g(f(x))\ne f(g(x))$$g(f(x))\neq f(g(x))$
   • $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$

2. 그래프 그리기

   

   • $y=f(x)$$y=f(x)$ 라 할 때, $(f\circ f)(x)$$(f\circ f)(x)$의 그래프를 그려보자.

     물론 $\begin{array}{c}y=\{\begin{array}{ll}2x& (0\le x\le \frac{1}{2})\\ -2x+2& (\frac{1}{2}<x\le 1)\end{array}\end{array}$$y=\begin{cases} 2x &(0\le x\le \frac 12) \\ -2x +2&(\frac 12 <x\le 1)\end{cases}$ 로 두고 일일이 계산해서 그려도 되지만....

   • 정의역과 치역 그리고 합성함수의 개념을 이용해보자.

     주어진 함수의 정의역을 살펴보자. 함수의 형태가 바뀌는 구간을 생각해보면,

     정의역은 $0\to \frac{1}{2}$$0\to \cfrac 12$ 일 때와 $\frac{1}{2}\to 1$$\cfrac 12\to 1$ 인 경우로 나눌 수 있다.

     • 정의역이 $0\to \frac{1}{2}$$0\to \cfrac 12$일 때,

       이 때의 치역은 $0\to 1$$0\to 1$, 이 치역이 다시 정의역이 되서 함수가 그려진다.

     • 정의역이 $\frac{1}{2}\to 1$$\cfrac 12 \to 1$일 때,

       이 때의 치역은 $1\to 0$$1\to 0$, 이 치역이 다시 정의역이 되서 함수가 그려진다.

     

     • 그래프의 이해

       점 $A$$A$는 정의역 : $(x,0)$$(x,~0)$

       점 $B$$B$는 정의역으로 나오는 함숫값 : $(x,f(x))$$(x,~f(x))$

       점 $C$$C$는 점 $B$$B$의 함숫값을 치역으로 나타낸 것 : $(f(x),0)$$(f(x),~0)$

       점 $D$$D$는 그에 따라 나오는 함숫값 : $(f(x),f(f(x))$$(f(x),~f(f(x))$

       점 $E$$E$는 최종으로 그려지는 $y=(f\circ f)(x)$$y=(f\circ f)(x)$ : $(x,f(f(x))$$(x,~f(f(x))$

     움직이는 점들을 보고 있노라면 심란해질 수도 있지만, 차근차근 점이 의미하는 바를 보면서 이해하도록 하자.

     뭐...실제로 강의하면 별것도 아닌데 글로는 좀 애매하다.

      

     그냥 강의하듯 말하면,

     • $x$$x$가 $0$$0$에서 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$까지 이동하는 동안, 함숫값은 $0$$0$에서 $1$$1$가지 변한다. 그리고 함숫값으로 나온 $0$$0$에서 $1$$1$까지의 값들이 다시 정의역으로 들어가는 것이다. 즉, $x$$x$가 $0$$0$에서 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$까지 변하는 동안에 함수 $f(x)$$f(x)$의 개형이 그 안에 그래지는 것이다.
     • $x$$x$가 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$에서 $0$$0$까지 이동하는 동안, 함숫값은 $1$$1$에서 $0$$0$으로 변한다. 역시나 이 함숫값들이 다시 정의역이 되는 것이다. 즉, $x$$x$가 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$에서 $1$$1$까지 변하는 동안 함수 $f(x)$$f(x)$의 개형을 반대로 그리면 된다.

3. 연습으로 하나 더

   

   • 위의 그래프가 $y=f(x)$$y=f(x)$일 때, $y=(f\circ f)(x)$$y=(f\circ f)(x)$를 그려보자.

     1. $x$$x$가 $0$$0$에서 $\frac{2}{3}$$\cfrac 23$까지 변하는 동안 치역은 $0$$0$에서 $1$$1$까지 변한다.
     2. 이 치역은 다시 정의역으로 들어간다. 즉, $0$$0$부터 $\frac{2}{3}$$\cfrac 23$까지 변하는 동한 $f(x)$$f(x)$의 개형이 들어간다.
     3. 이 구간에서의 꼭짓점을 구하면, $(\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9},1)$$\Big(\cfrac 23 \times \cfrac 23=\cfrac 49,~1\big)$일 것이다.
     4. $x$$x$가 $\frac{2}{3}$$\cfrac 23$에서 $1$$1$까지 변하는 동안 치역은 $1$$1$에서 $0$$0$까지 변한다.
     5. 이 치역은 다시 정의역으로 들어가서 $\frac{2}{3}$$\cfrac 23$부터 $1$$1$까지 변하는 동안 $f(x)$$f(x)$의 개형이 반대로 그려지겠다.
     6. 이 구간에서의 꼭짓점은 $(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{7}{9},1)$$\Big( \cfrac 23 + \cfrac 13 \times \cfrac 13=\cfrac 79 ,~1\Big)$

     그래서 최종으로 그래프를 그리면,

     

4. 최종 연습

   그림은 함수 $f(x)=x^2{e}^{-x+2}$$f(x)=x^2 e^{-x+2}$의 그래프이다.

   

   함수 $y=(f\circ f)(x)$$y=(f\circ f)(x)$의 그래프와 $y=\frac{15}{e^2}$$y=\cfrac{15}{e^2}$의 교점의 개수를 구하시오.(단, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0)$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 )\quad$(출처: $2017$$2017$년 $03$$03$월 가형 $18$$18$번)

   (뭐 미적분을 선택하지 않았어도 푸는 데 지장없다. 그냥 $e=2.7\cdots$$e=2.7\cdots$인 무리수이고 우리의 집중은 오직 $y=(f\circ f)(x)$$y=(f\circ f)(x)$를 그리는 것에 있다. 원래 제대로 풀기 위해서는 미분도 하고 해야하지만... 다만 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0$)

   • 해설.

     1. 함수의 개형을 정의역에 따라 나누자.

        $\begin{array}{c}x=\{\begin{array}{l}-\mathrm{\infty }\to 0\\ 0\to 2\\ 2\to \mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$x=\begin{cases}-\infty \to 0\\ 0\to 2 \\ 2\to \infty \end{cases}$ 일 때, 치역을 알아보면, $\begin{array}{c}y=\{\begin{array}{l}\mathrm{\infty }\to 0\\ 0\to 4\\ 4\to 0& (\text{단, 극한값이다.})\end{array}\end{array}$$y=\begin{cases}\infty\to 0\\ 0\to 4\\ 4\to 0&(\text{단, 극한값이다.}) \end{cases}$

     2. 각 구간별로 그리자!

        • $x$$x$가 $-\mathrm{\infty }\to 0$$-\infty\to 0$으로 변하는 동안 $x$$x$가 $\mathrm{\infty }\to 0$$\infty \to 0$으로 변할 때의 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형이 그려진다.
        • $x$$x$가 $0\to 2$$0\to 2$으로 변하는 동안 $x$$x$가 $0\to 4$$0\to 4$로 변할 때의 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형이 그려진다.
        • $x$$x$가 $2\to \mathrm{\infty }$$2\to\infty$로 변하는 동안 $x$$x$가 $4\to 0$$4\to 0$으로 변할 때의 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형이 그려진다.

        

        대충 이렇게 그리면 되는거고. (중요한 사항은 극댓값은 전부 $4$$4$로 동일하다!)

        극솟값은 $x=0$$x=0$일 때, $f(0)=0$$f(0)=0$이고, $x=2$$x=2$일 때, $f(4)=\frac{16}{e^2}$$f(4)=\cfrac {16}{e^2}$

     3. $y=\frac{15}{e^2}$$y=\cfrac {15}{e^2}$의 교점의 개수를 구하자.

        뭐 극솟값이 $x=2$$x=2$일 때, $\frac{16}{e^2}$$\cfrac {16}{e^2}$이니까, 교점의 개수는 $4$$4$개

II. 역함수

1. 정의

   1. 함수가 일대일대응일 때,

      $f(a)=b⟶f^{-1}(b)=a$$f(a)=b\quad \longrightarrow \quad f^{-1}(b)=a$

   2. $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프일 때,

      • 증가함수이거나 감소함수

      • $y=f(x)$$y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$$y=f^{-1}(x)$의 교점

        • 일반적으로 $y=x$$y=x$ 축 위에 있다.
        • $y=-x$$y=-x$ 위에 존재할 수도 있다. (예제)

      • $y=x$$y=x$에 대칭이다.