03. 수열

I. 수열

• 등차수열 : 정의역이 자연수인 일차함수의 시각으로도 접근 가능하다
• 등비수열 : 정의역이 자연수인 지수함수의 시각으로도 접근 가능하다. (단 공비가 음수일 때는 예외)

• 함수와 다른 점

  • 수열의 귀납적 정의(점화식)

    연속된 항 또는 규칙적인 항들의 관계식

II. 규칙

• 수열문제는 규칙이다.

규칙이 존재하는 것을 알고, 그 규칙을 찾기만 하면 된다.

뭐 좀 난이도가 올라가면 짝수, 홀수항끼리 규칙이 존재하는 경우가 많다.

정말 뛰어나서 한번에 보고 딱! 규칙을 찾으면 좋겠지만, 그냥 몇 번 대입하면서 규칙을 찾기만 하면 된다.

III. 수열의 귀납적 정의

1. 가장 일반적인 예

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccccccccccc}{a}_1& & a_2& & a_3& & \cdots & & a_n& & 점화식\\ & \vee & & \vee & & \vee & & \vee & & & \\ & +d& & +d& & +d& & +d& & & \text{1) }{a}_{n+1}-a_n=d\\ \\ & \times r& & \times r& & \times r& & \times r& & & \text{2) }{a}_{n+1}÷a_n=r\\ \\ & +f(1)& & +f(2)& & +f(3)& & +f(n-1)& & & \text{3) }{a}_{n+1}-a_n=f(n)\\ \\ & \times f(1)& & \times f(2)& & \times f(3)& & \times f(n-1)& & & \text{4) }{a}_{n+1}÷a_n=f(n)\end{array}\end{array}$$\quad \begin{matrix} a_{ 1 } & & a_{ 2 } & & a_{ 3 } & & \cdots & & a_{ n } & & 점화식 \\\ & \vee & & \vee & & \vee & & \vee & & & \\\ & +~d & & +~d & & +~d & & +~d & & & \text{1) }~a_{ n+1 }-a_{ n }=d \\\ \\\ &\times ~r&&\times ~r&&\times ~r &&\times ~r&&&\text{2) }~a_{n+1}\div a_n =r\\\ \\\ &+~f(1)&&+~f(2)&&+~f(3)&&+~f(n-1)&&& \text{3) }~a_{n+1}-a_n =f(n)\\\ \\\ &\times ~f(1)&&\times ~f(2)&&\times ~f(3)&&\times ~f(n-1)&&&\text{4) }~a_{n+1}\div a_n =f(n)\end{matrix}$

일반항을 구하는 것은 교과외 과정으로 바뀌면서 생략~

허나 등비수열과 등차수열의 일반항을 구하는 과정과 동일한 과정이다.

2. 수열의 귀납적 정의의 활용

• 뭐 이건 요즘 수능 문제의 경향과는 좀 비껴갔지만, 수열의 귀납정 정의는 수열의 정수라 생각해서 쓴다.

• 그냥 '이런 것이다.'라고 말할 수 없고, 문제별로 접근하면서 익히는 연습을 하도록 하자.

1. 하노이의 탑

그림과 같이 원판이 크기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하면서 차례로 쌓여있다. 이 원판을 한 번에 한 개씩 옮겨야 하고, 절대로 작은 원판 위에 큰 원판을 올려놓을 수 없다. 원판의 개수가 $n$$~n$개인 경우 최소 이동횟수를 $a_n$$~a_n$이라 할 때, $a_{n+1}$$~a_{n+1}$과 $a_n$$~a_n$항의 관계식을 구하시오.

문제에 따라 수열을 생각해보자.

• $a_n:n$$a_n~:~n$개의 원판을 규칙에 맞춰 움직이는 최소 이동횟수
• $a_{n+1}:(n+1)$$a_{n+1}~:~(n+1)$개의 원판을 규칙에 맞춰 움직이는 최소 이동 횟수

이제 수열의 귀납적 정의를 이용해보자.

1. $n+1$$n+1$ 개의 원반을 움직이기 위해서 먼저 $n$$n$ 개의 원반을 이동시켜야 한다.

   이 때의 원반의 최소 이동 횟수는 정의에 따라 $a_n$$a_n$ 번

2. 이제 가장 큰 $n+1$$n+1$ 번째의 원반을 다른 막대기로 이동시켜야 한다.

   이 때의 원반 이동 횟수는 $1$$1$ 번

3. 이제 다시 $n$$n$ 개의 원반을 $n+1$$n+1$ 번째의 원반 위로 옮기면 된다.

   이 때의 원반의 최소 이동 횟수는 정의에 따라 $a_n$$a_n$ 번

4. 이제 최종으로 관계식을 마무리 짓자.

   $a_{n+1}=a_n+1+a_n=2a_n+1$$a_{n+1}=a_n+1+a_n =2a_n+1$

이런 시각을 가지면 좋겠다. 하지만, 처음에 바로 할 수 있다면...어....음... 좋겠지만 생각보다 쉽지는 않아 보일 수 있다. 그래서 준비했다! 연습하는 방법! 은 다음 글에...