01. 도형의 이동

I. 점의 이동

0. 중요한 사항

이동 시키기 전의 점과 이동시킨 후의 점의 관계식을 알아내는 데 중점을 두도록 하자.

1. 점의 평행이동

좌표평면 위의 임의의 점 $P(x,y)$$P(x,~y)$를 생각해보자. 이 점을 $x$$x$ 축으로 $a$$a$만큼, $y$$y$ 축으로 $b$$b$만큼 평행이동 시킨 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P'(x',~y')$라 하자.

이제 $x$$x$ 와 $x^{\prime }$$x'$, 그리고 $y$$y$ 와 $y^{\prime }$$y'$의 관계를 생각해보자.

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$$\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b\end{cases}$ 임은 너무나 명백하다!

2. 점의 대칭이동

이번에는 주어진 점 $P(x,y)$$P(x,~y)$를 다음의 순서로 대칭이동 시켜보자.

1. $x$$x$ 축 대칭
2. $y$$y$ 축 대칭
3. 원점 대칭
4. $y=x$$y=x$에 대칭
5. $y=mx+n$$y=mx+n$에 대하여 대칭(교과 과정 아닐 껄?)
6. $A(a,b)$$A(a,~b)$에 대하여 대칭(교과 과정 아닐 껄?)

우선 겹치는 그림을 보면서 생각을 하자.

1. $x$$x$ 축에 대칭이동

   점 $P(x,y)$$P(x,~y)$를 $x$$x$ 축에 대칭이동시킨 점을 $R(x^{\prime },y^{\prime })$$R(x',~y')$이라 하자.

   관계식은

   $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=-y\end{array}$$\begin{cases} x'=x\\ y'=-y\end{cases}$

2. $y$$y$ 축에 대칭이동

   점 $P(x,y)$$P(x,~y)$를 $y$$y$ 축에 대칭이동시킨 점을 $Q(x^{\prime },y^{\prime })$$Q(x',~y')$이라 하자.

   관계식은

   $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=y\end{array}$$\begin{cases} x'=-x\\ y'=y\end{cases}$

3. 원점에 대칭이동

   점 $P(x,y)$$P(x,~y)$를 원점에 대칭이동시킨 점을 $S(x^{\prime },y^{\prime })$$S(x',~y')$이라 하자.

   관계식은

   $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=-y\end{array}$$\begin{cases} x'=-x\\ y'=-y\end{cases}$

외우는 것이 아니라 그냥 그래프 하나 뚝딱 그려서 관계식을 찾으면 되는 것이다!!!

4. $y=x$$y=x$ 에 대해 대칭이동

   

   1. $P(x,y)$$P(x,~y)$를 $y=x$$y=x$ 에 대하여 대칭이동시킨 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P'(x',~y')$라 하자.

   2. $x^{\prime },y^{\prime }$$x',~y'$을 $x,y$$x,~y$로 표현하면 된다!

      • $\overline{P{P}^{\prime }}$$\overline{PP'}$의 중점 $M$$M$은 $y=x$$y=x$ 위에 있다.

        $M(\frac{x+x^{\prime }}{2},\frac{y+y^{\prime }}{2})$$M\Big(\cfrac {x+x'}2,~\cfrac {y+y'}2\Big)$이고,

        $\frac{y+y^{\prime }}{2}=\frac{x+x^{\prime }}{2}⟶y+y^{\prime }=x+x^{\prime }$$\cfrac {y+y'}2=\cfrac {x+x'}2\quad \longrightarrow \quad y+y'=x+x'$

      • $\overline{P{P}^{\prime }}$$\overline{PP'}$와 $y=x$$y=x$는 서로 수직이다.

        $\frac{y-y^{\prime }}{x-x^{\prime }}=-1⟶y-y^{\prime }=x^{\prime }-x$$\cfrac {y-y'}{x-x'}=-1\quad \longrightarrow \quad y-y'=x'-x$

      • 두 조건식을 $x^{\prime },y^{\prime }$$x',~y'$에 대하여 풀자.

        $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }-y^{\prime }=-x+y\\ x^{\prime }+y^{\prime }=x+y\end{array}⟶\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y\\ y^{\prime }=x\end{array}$$\begin{cases} x'-y'=-x+y\\ x'+y'=x+y\end{cases} \quad \longrightarrow \begin{cases}x'=y\\ y'=x \end{cases}$

      $\therefore P^{\prime }(y,x)$$\therefore~ P'(y,~x)$

   여기서 기억할 것은 결과물이 아니라 어떤 조건을 이용하여 끌어냈는가 하는 것이다.

5. $y=mx+n(m\ne 0)$$y=mx+n~(m\neq 0)$에 대하여 대칭일 때,

   

   1. $P(x,y)$$P(x,~y)$를 $y=mx+n$$y=mx+n$에 대하여 대칭이동 시킨 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P'(x',~y')$이라 하자.

   2. $x^{\prime },y^{\prime }$$x',~y'$을 $x$$x$와 $y$$y$를 이용하여 표현하면 된다!

      $y=x$$y=x$에 대해 대칭일 때와 다른 점이 무엇일까?

      • $\overline{P{P}^{\prime }}$$\overline{PP'}$의 중점은 직선 $y=mx+n$$y=mx+n$ 위에 있다.
      • $\overline{P{P}^{\prime }}$$\overline{PP'}$과 직선 $y=mx+n$$y=mx+n$은 서로 수직이다.

      뭐 계산이 조금 복잡해질 뿐이지 $y=x$$y=x$에 대칭한 점을 구할 때와 다른 점이 없다!

      즉, 유도되는 과정을 알아야 새로 접하는 문제를 접근할 방법이 생기는 것이지 결과로 나온 공식만 외워서는 접근할 수 조차 없다.

      그리고 이런 식으로 찔러대는 것이 수능문제이다.

6. $A(a,b)$$A(a,~b)$에 대한 점대칭을 알아보자.

   

   1. $P(x,y)$$P(x,~y)$를 $A(a,b)$$A(a,~b)$에 대하여 대칭이동 시킨 점을 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P'(x',~y')$이라 하자.

   2. 관계식을 구해보자!

      • $\overline{P{P}^{\prime }}$$\overline{PP'}$의 중점은 $A(a,b)$$A(a,~b)$임을 이용하자.

        $M(\frac{x+x^{\prime }}{2},\frac{y+y^{\prime }}{2})=A(a,b)$$M\Big(\cfrac {x+x'}2,~\cfrac {y+y'}2\Big)=A(a,~b)$

        $\{\begin{array}{l}x+x^{\prime }=2a\\ y+y^{\prime }=2b\end{array}$$\begin{cases} x+x'=2a\\ y+y'=2b\end{cases}$

      이제 관계식 하나를 더 생각하면 된다. 여기서 방법은 여러가지일 것이다.

      1. $P^{\prime }$$P'$은 직선 $\overline{AP}$$\overline{AP}$ 위에 있다. (이건 계산 할만 한데?)

      2. $\overline{AP}=\overline{A{P}^{\prime }}$$\overline{AP}=\overline{AP'}$ (이건 꽤 귀찮아 보여)

      3. 중심을 $A$$A$로 하고 반지름이 $\overline{AP}$$\overline{AP}$인 원과 직선 $\overline{AP}$$\overline{AP}$의 교점 구하기. (어 이건 위의 중점 조건을 안 써도 되네?)

      4. 벡터를 안다면, $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{PA}$$\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{PA}$

         와우 이게 젤 쉬워~!

      5. $A$$A$를 지나면서 $\overline{AP}$$\overline{AP}$에 수직인 직선을 구한 후 $y=mx+n$$y=mx+n$의 문제로 바꿔서 풀기

      뭐 이 밖에도 여러 방법들이 있을 것이다.

잔소리

$y=mx+n$$y=mx+n$과 $A(a,b)$$A(a,~b)$에 대해 대칭이동 시킨 점을 구하는 방법은 분명히 교과과정은 아닐 것이다. (뭐 꽤 예전 교육과정에는 포함된 적도 있긴 했다. 물론 공식이랍시고 적어놓은 문제집들이 대다수긴 했지;;) 하지만 '못 풀 문제였는가?'에 대한 질문을 해보자. 단편적으로 공식만으로 접근했다면 이건 욕나오는 문제이다.(단순 산수문제임에도 불구하고) 하지만, 그 유도 과정들을 안 다면? 진짜 별거 아닌 문제이다.

이런 방식으로 단순 공식 암기만으로 공부해온 학생들을 엿먹이는 것이 수능 문제이다.

그간 기출문제를 풀면서 어디에도 공식을 쓰면서 풀이 한 적이 없다. (아! 단순 계산은 빼자!) 그냥 교과서 수준의 내용을 가지고 (로피탈의 정리와 삼각함수의 극한은 빼자 ㅡ.ㅡ;) 그냥 그냥 이리저리 알고 있는 것을 활용한 것이 전부이다.

 

II. 도형의 이동

1. 도형의 이동

   

    

   • 정리를 해보자.

     $f(x,y)=0$$f(x,~y)=0$ 과 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$$\begin{cases} x'=x+a\\ y'=y+b\end{cases}\quad$임을 알고 있다.

   • $f(x,y)=0$$f(x,~y)=0$을 $x^{\prime }$$x'$과 $y^{\prime }$$y'$의 식으로 표현해야한다.

     $\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }-a\\ y=y^{\prime }-b\end{array}$$\begin{cases} x=x'-a\\ y=y'-b\end{cases}$ 가 성립한다.

     오!

     $f(x^{\prime }-a,y^{\prime }-b)=0$$f(x'-a,~y'-b)=0$

   • 이제 익히 외워왔던 그냥 문자 $x,y$$x,~y$를 쓰면 된다.

     $f(x-a,y-b)=0$$f(x-a,~y-b)=0$

2. 축대칭

   1. $x$$x$ 축 대칭

      

      1. 그래프 위의 점 $P$$P$부터 생각하면, $P(x,y)⟶P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P(x,~y)\longrightarrow P'(x',~y')$으로 이동한다.
      2. $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=-y\end{array}$$\begin{cases} x'=x\\ y'=-y\end{cases}$
      3. 이용하면, $f(x,-y)=0=f(x^{\prime },y^{\prime })$$f(x,~-y)=0=f(x',~y')$

      $\therefore f(x,-y)=0$$\therefore~ f(x,~-y)=0$

   2. $y$$y$ 축 대칭

      

      1. 그래프 위의 점 $P$$P$부터 생각하면, $P(x,y)⟶P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P(x,~y)\longrightarrow P'(x',~y')$으로 이동한다.
      2. $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=y\end{array}$$\begin{cases} x'=-x\\ y'=y\end{cases}$
      3. 이용하면, $f(-x,y)=0=f(x^{\prime },y^{\prime })$$f(-x,~y)=0=f(x',~y')$

      $\therefore f(-x,y)=0$$\therefore~ f(-x,~y)=0$

   3. 원 점 대칭

      

      1. 그래프 위의 점 $P$$P$부터 생각하면, $P(x,y)⟶P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P(x,~y)\longrightarrow P'(x',~y')$으로 이동한다.
      2. $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-x\\ y^{\prime }=-y\end{array}$$\begin{cases} x'=-x\\ y'=-y\end{cases}$
      3. 이용하면, $f(-x,-y)=0=f(x^{\prime },y^{\prime })$$f(-x,~-y)=0=f(x',~y')$

      $\therefore f(-x,-y)=0$$\therefore~ f(-x,~-y)=0$

   3. 그 밖의 대칭점의 이용

   1. $y=f(x)$$y=f(x)$가 $x=a$$x=a$에 대해 대칭일 때,

      

      • $P(x,y)$$P(x,~y)$와 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P'(x',~y')$의 관계식을 이용해서

        $\{\begin{array}{l}\frac{x+x^{\prime }}{2}=a\\ y=y^{\prime }\end{array}⟶\{\begin{array}{l}x=2a-x^{\prime }\\ y=y^{\prime }\end{array}$$\begin{cases} \cfrac{x+x'}2=a\\ y=y'\end{cases} \quad \longrightarrow \quad \begin{cases} x=2a-x'\\ y=y'\end{cases}$

         

        $y=f(x)⟶y^{\prime }=f(2a-x^{\prime })\to y=f(2a-x)$$y=f(x)\quad \longrightarrow \quad y'=f(2a-x')\quad \to\quad y=f(2a-x)$

         

        $\therefore f(x)=f(2a-x)$$\therefore~ f(x)=f(2a-x)$

      • 다른 시각을 이용해 접근해 보자.

        

        $x=a$$x=a$를 기준으로 같은 거리에 있는 함수의 값은 동일하다.

        즉, $f(a-x)=f(a+x)$$f(a-x)=f(a+x)$

      • 그럼 이 두 식은 전혀 달라보이는데?

        $f(a-x)=f(a+x)$$f(a-x)=f(a+x)$

        $x$$x$ 대신에 $a-x$$a-x$를 대입하면,

        $f(a-a+x)=f(a+a-x)⟶f(x)=f(2a-x)$$f(a-a+x)=f(a+a-x)\quad \longrightarrow \quad f(x)=f(2a-x)$

        오 같은 표현식이다!

      뭐 이 공식(?)을 외우면 좋지만, 외우는 게 중요한 것이 아니라 그냥 언제고 필요할 때 가져다 쓰는 게 더 중요하다.

   2. $y=f(x)$$y=f(x)$이 $(a,b)$$(a,~b)$에 대해 대칭관계일 때,

      

      • $P(x,y)$$P(x,~y)$와 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$$P'(x',~y')$의 관계식을 구하자.

        $\{\begin{array}{l}\frac{x+x^{\prime }}{2}=a\\ \frac{y+y^{\prime }}{2}=b\end{array}⟶\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2a-x\\ y^{\prime }=2b-y\end{array}$$\begin{cases} \cfrac {x+x'}2=a\\ \cfrac {y+y'}2=b\end{cases} \quad \longrightarrow \quad \begin{cases}x'=2a-x\\ y'=2b-y \end{cases}$

        대입하면,

        $2b-y=f(2a-x)$$2b-y=f(2a-x)$

        $2b-f(x)=f(2a-x)$$2b-f(x)=f(2a-x)$

      • 다른 관점으로 접근해보자.

        

        $f(a+x)-b=b-f(a-x)$$f(a+x)-b=b-f(a-x)$

        $f(a+x)=2b-f(a-x)$$f(a+x)=2b-f(a-x)$

      • 두 식은 다른 식일까?

        $f(a+x)=2b-f(a-x)$$f(a+x)=2b-f(a-x)$의 관계식에 $x$$x$대신 $a-x$$a-x$를 대입해보자.

        $\therefore f(2a-x)=2b-f(x)$$\therefore~ f(2a-x)=2b-f(x)$

        동일하다!

      그리고 노파심에 당연히 $b=f(a)$$b=f(a)$

       

      뭐 여기에 미분도 하고~ 적분도 하면서~ 문제가 만들어 지겠지?

      물론 위의 식을 완벽하게 암기한다면 좋겠지만, 비슷한 조건 식을 봤을 때, 혹시? 하면서 위의 과정을 해보면 자연스레 알 수 있지 않을까?

      어차피 수리영역 시간 지루할 정도로 시간 남아 돌잖아?