04. 수열의 귀납적 정의 03

식중독균에는 새로운 개체를 만들어내는 데 소요되는 시간과 생존 시간이 다른 여러 종류의 균들이 있다. 각각의 균별 특성에 따른 증식속도를 파악하여, 특정 시점의 식중독균 개체수를 추정하는 것은 식품의 유통기한을 결정하는 데 매우 중요하다. 다음 자료는 한 식중독균에 대해 식품 유통 환경에서의 특성을 조사한 것이다.

• A균은 신생균과 성숙균으로 분류되고, 1시간마다 신생균과 성숙균 모두 새로운 신생균을 만들며 그 직후에 기존 신생균은 성숙균으로 성장하고, 기존 성숙균은 사멸한다.

초기에 A균의 신생균 개체수가 $p_0=1$$~p_0=1$이고, 성숙균의 개체수가 ($q_0=0$$~q_0=0$)일 때, A균의 개체 증가에 대해 수열의 귀납적 정의를 이용하여 관계식을 표현하시오.

 

해설

수형도를 그려서 갯수를 그리면 금방 피보나치 수열의 형태임을 알 수 있긴 하다. 하지만 답을 찾아내는 것이 아니라 제대로 접근해보자.

원하는 방식

우선 수열을 정의하자.

• $p_n$$p_n$ : $n$$n$ 시간 후의 신생균의 개체수
• $q_n$$q_n$ : $n$$n$ 시간 후의 성숙균의 개체수
• $r_n$$r_n$ : $n$$n$ 시간 후의 $A$$A$ 균의 개체수 $⟶r_n=p_n+q_n$$\longrightarrow \quad r_n=p_n+q_n$

주어진 조건을 간단하게 도식화 해보자.

$\begin{array}{ccccccc}p& \to p& & & & q& \to p\\ & \searrow q& & & & & \searrow \text{사멸}\end{array}$$\begin{matrix} p & \rightarrow ~~p &&&&q & \rightarrow ~~p\\ & \searrow ~~q &&&&&\searrow~~\text{사멸}\end{matrix}$

이를 수열로 연관시켜 보면,

$\begin{array}{cc}(n+1)\text{시간 째}& n\text{시간 째}\\ p_{n+1}& \leftarrow p_n\\ & \nwarrow q_n\end{array}\begin{array}{cc}(n+1)\text{시간 째}& n\text{시간 째}\\ q_{n+1}& \leftarrow p_n\\ \end{array}$$\begin{array}{c|c} (n+1)\text{시간 째} ~~~~& ~~~~n\text{시간 째} \\\ p_{n+1}& \leftarrow ~~p_n \\\ &\nwarrow~~q_n\end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|c} (n+1)\text{시간 째} ~~~~& ~~~~n\text{시간 째} \\\ q_{n+1} & \leftarrow p_n \\\ \end{array}$

즉, $\{\begin{array}{l}{p}_{n+1}=p_n+q_n\\ q_{n+1}=p_n\end{array}$$\begin{cases} p_{n+1}=p_n+q_n\\ q_{n+1}=p_n\end{cases} \quad$임을 알 수 있다.

이제 이 관계식을 가지고 조금 장난을 쳐 보면,

$\begin{array}{rl}{p}_{n+2}& =p_{n+1}+q_{n+1}=r_{n+1}\\ & =p_{n+1}+p_n\end{array}$$\begin{aligned} p_{n+2}&=p_{n+1}+q_{n+1}=r_{n+1} \\ &= p_{n+1}+p_n\end{aligned}$

 

활용.

• $A$$A$균은 신생균과 성숙균으로 분류되고, 1시간마다 각 신생균은 2개의 신생균을 생산함과 동시에 자신은 성숙균으로 변하고, 각 성숙균은 신생균 1개를 만들며 사멸한다.

조건이 이렇게 바뀌면?

 

답. $r_{n+2}=3p_{n+1}+p_n$$r_{n+2}=3p_{n+1}+p_n$