05. 미분에 대해 한 걸음 더

1. 미분을 분수처럼?

도함수의 표현을 살펴보면,

$y^{\prime },f^{\prime }(x),\frac{dy}{dx},\frac{d}{dx}f(x),\dot{y},$$y',~~f'(x),~~\cfrac {dy}{dx},~~\cfrac d{dx} f(x),~~ \dot y,$

등등 한 가지 방법이 아니다. 보통 요즘은 $\frac{dy}{dx}$$\cfrac {dy}{dx}$와 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 많이 선호한다. 물론 대학교가면 그때그때 다르지만 뭐.

생각해볼 문제.

$\frac{dy}{dx}$$\cfrac{dy}{dx}$로 굳이 표현하는 이유가 있을까? 아니 마치 유리식처럼 보이잖아? $d$$d$는 (derivative 던가? Differential 이던가? 뭐 암튼 둘다 미분을 내포하고 있는 단어니까.) 지우면 안되긴 하겠지. 어떨까?

당연히 $\frac{dy}{dx}$$\cfrac {dy}{dx}$는 유리식이 절대로 아니다. 어디까지나 미분을 나타내는 기호일 뿐이니 결단코 '$dx$$dx$분의 $dy$$~dy$'같이 분수로 생각하면 안된다.

당연히 $\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$\cfrac {dy}{dx} =\lim\limits_{h\to 0} \cfrac{f(x+h)-f(x)}h$로 극한을 다룬 것이기 때문입니다.

 

하지만? 기왕 분수처럼 표현했으니 혹시 분수처럼 다룰 수 있지는 않을까?

물론 저항감이 있는 건 당연할 것이다. 하지만, 만일 분수처럼 다룰 수 있다면, 더욱 사용하기 쉬워질 것은 틀림이 없을 껄?

지금부터 다룰 이야기는 오직 도함수가 존재하는 함수에 대한 이야기다.

미분가능한 함수에서 $\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$만큼 변할 때의 함수는 아래로 오목하던가 위로 볼록한 형태를 가진다.. 그 두 경우에 대해 살펴보면,(실제로 이 두 경우에 대해 배우는 것은 미적분을 선택했을 때에만 해당하므로 그냥 지금은 그러려니 하고 넘어가도록 하자.)

위 그래프를 참조해서 식을 표현하면,

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }y& =f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)\\ & =f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x+\overline{AB}\end{array}$$\begin{aligned} \Delta y &= f(x+\Delta x)- f(x)\\ &= f'(x)\Delta x +\overline{AB}\end{aligned}$

그런데, 여기서 $\mathrm{\Delta }x\to 0$$\Delta x\to 0$이면, $\overline{AB}\to 0$$\overline{AB}\to 0$ 으로 수렴한다.($f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$$f'(x)\Delta x$가 $0$$0$으로 수렴하는 속도보다 훨씬 빠르게 말이다. 이해를 돕자면, $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{x}=0$$\lim\limits_{ x\to 0} \cfrac {x^2}x=0$ 처럼 생각할 수 있다는 것이다.)

그럼 $\mathrm{\Delta }$$\Delta$의 기호는 $d$$d$로 바꿔치기가 가능할 것이고,

$dy=f^{\prime }(x)dx$$dy=f'(x)dx$

로 표현할 수 있다. (자세한 거 알려면 수학과 가서 배워라.아님 수학과 출신인 사람에게 배우면 된다. 공대나와도 이런 거 안 배운다. 그냥 수학과에서 증명해줬으니 우리는 가져다 쓰자~ 이게 전부다.)

$x$$x$를 아주 약간 $dx$$~dx$만큼 움직였을 때, $y$$~y$는 $dy$$~dy$만틈 변한다.

이와 같은 방법으로 아래로 볼록한 경우도 생각해 보면,

$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x-\overline{AB}$$\Delta y = f'(x)\Delta x -\overline{AB}$

역시 $\mathrm{\Delta }x\to 0$$\Delta x \to 0$으로 가면, $\overline{AB}$$\overline{AB}$는 $f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x$$f'(x)\Delta x$ 보다 훨씬 빠른 속도로 $0$$0$으로 수렴해간다.)

$dy=f^{\prime }(x)dx$$dy=f'(x)dx$

 

정리.

엄밀하게 말하면, 미분가능한 함수일 때에는 분수로 취급하는 것이 아니라 분수처럼 접근할 수 있다는 것이다.

그리고 이를 이용하면, 수학II의 내용을 포함해서 미적분의 다수 공식이란 것들이 더 이상 공식이 아니게 된다!

우선 수학II의 내용을 살펴보면,

$y=\{f(x){\}}^n$$y=\{f(x)\}^n$의 $\frac{dy}{dx}$$~\cfrac {dy}{dx}$를 구해보면,

$t=f(x)$$t= f(x)$라 하면, (치환은 항상 옳다!)

$\frac{dt}{dx}=f^{\prime }(x)$$\cfrac {dt}{dx} = f'(x)$

$y=t^n$$y=t^n$이고 이를 $t$$~t$에 대헤 우선 미분하면,

$\frac{dy}{dt}=n{t}^{n-1}$$\cfrac {dy}{dt} =n t^{n-1}$

구해야 할 값은 $\frac{dy}{dx}$$\cfrac { dy}{dx}$

분수처럼 접근하는 개념을 적용하면,

$\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dx}$$\cfrac {dy}{dt} \cdot \cfrac{dt} {dx} = \cfrac {dy}{dx}$

주어진 식에 대입하면,

$\frac{dy}{dx}=n{t}^{n-1}{f}^{\prime }(x)=n\{f(x){\}}^{n-1}{f}^{\prime }(x)$$\cfrac {dy}{dx} = nt^{n-1} f'(x) = n \{f(x)\}^{n-1} f'(x)$

미적분을 선택하는 경우에는 아주 많은 것들이 필요가 없어진다. 매개변수, 음함수, 역함수 등등..

2. 로피탈의 정리

이 내용은 교과외 과정이지만, 알아두면 극한의 계산을 상당히 단순하게 해낼 수 있습니다. 또한 많은 고등학생들이 옛날부터 꼼수로 알게 모르게 사용하기에 추가한다.

로피탈의 정리

함수 $f(x),g(x)$$~f(x),~~g(x)$가 미분가능하고, $g^{\prime }(a)\ne 0$$~g'(a) \neq 0$일 때,

I. $\underset{x\to a}{lim}f(x)=0\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$$~\lim\limits_{x\to a} f(x) =0 \qquad \qquad \lim\limits_{x\to a}g(x)=0$

또는

II. $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\underset{x\to a}{lim}g(x)=\pm \mathrm{\infty }$$~\lim\limits_{x\to a} f(x) =\pm \infty \qquad \qquad \lim\limits_{x\to a}g(x)=\pm\infty$

즉, $\frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$\frac 0 0,~~\frac {\infty}{\infty}$의 꼴일 때,

$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$\lim\limits_{x\to a } \cfrac {f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{x\to a }\cfrac {f'(x)}{g'(x)}$

보통 고등학교 문제에서는 발산하는 경우에 로피탈의 정리를 사용할 문제는 출제되지 않지만, 뭐 그거야 아직까지 그런 거고...

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지금 서술하는 것은 절대 엄밀한 증명이 아닙니다.

$\begin{array}{rl}\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}& =\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}\\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\\ & =\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\end{array}$$\begin{align}\lim\limits_{x\to a} \cfrac {f'(x)}{g'(x)} &= \cfrac {f'(a)}{g'(a)}=\cfrac {\lim\limits_{x\to a} \cfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a} \cfrac {g(x)-g(a)}{x-a}} \\\ &= \lim\limits_{x\to a} \cfrac {\cfrac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\cfrac {g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a} \cfrac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\\\ &= \lim\limits_{x\to a} \cfrac {f(x)}{g(x)}\end{align}$