2017년 03월 나형 30번

30. 자연수 전체의 집합의 부분집합 $X$가 상수 $p$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $n(X)=3$

(나) $x\in X$일 때,

$x$가 홀수이면 $\cfrac {x+p}2\in X$,

$x$가 짝수이면 $\cfrac x2\in X$이다.

$5\in X$일 때, 모든 자연수 $p$의 값의 합을 구하시오.

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i. 정리

뭐 간략해서 딱히 정리할 건 없지만.....

ii. 생각

• 어떤 경우가 가능할까...?

  1. $5\longrightarrow\alpha \longrightarrow\beta \longrightarrow 5$
  2. $5\longrightarrow 5,~\alpha~\&~\beta \longrightarrow 5$
  3. $5\longrightarrow 5\quad \alpha \longrightarrow\beta \longrightarrow 5$
  4. $5\longrightarrow\alpha \longrightarrow 5,~\beta \longrightarrow \beta$

  빼먹은 게 있을란가...? 없는 듯 한데...

와...이거 짝수, 홀수 경우 나누면 미치겠는데?

iii. $5\longrightarrow\alpha \longrightarrow\beta \longrightarrow 5$의 경우

• 짝$\rightarrow$짝의 경우

  $\beta =10\quad \longrightarrow\quad \alpha =20\quad \cfrac {5+p}2=20$

  $\therefore~p=35$

  $5\to 20\to 10\to 5$

• 짝$\rightarrow$홀의 경우

  $\beta=10-p$

  $\alpha =2\beta=20-2p$

  $\cfrac {5+p}2 =20-2p$

  $5p=35$

  $\therefore~p=7$

  $5\to 6\to 3\to 5$

얼래...깔끔하게 나오나본데?

• 홀$\to$짝의 경우

  $\beta=10$

  $\cfrac {\alpha +p}2=10\quad \longrightarrow\quad \alpha =20-p$

  $\cfrac {5+p}2 =20-p$

  $3p=35$

  조건에 위배

• 홀$\to$홀의 경우

  $\beta=10-p$

  $\cfrac{\alpha +p}2=10-p\quad\longrightarrow\quad \alpha =20-3p$

  $\cfrac {5+p}2=20-3p$

  $7p=35$

  $\therefore~p=5$

  $5\to 5\to 5\to 5$

  아이고 의미없다...

iv. $5\to 5,~\alpha ~\&~\beta \to 5$의 경우

$p=5$

$\cfrac {\alpha +5}2=5$

아이고 의미없다...

v. $5\to 5,~\alpha \to\beta \to 5\to 5$의 경우

$p=5$

1. 짝$\to$짝 인 경우

   $\beta=10\longrightarrow\alpha =20$

   어랏..된다...

$\therefore~p=5$

$20\to 10\to 5\to 5$

vi. $5\to \alpha \to 5,~\beta\to \beta$인 경우

우선 $\beta$가 짝수인 경우는 성립하지 않는다. ($\because~\cfrac {\beta}2=\beta$)

$\beta$는 홀수$\longrightarrow\cfrac{\beta+p}2=\beta\quad\longrightarrow \beta =p$

$\cfrac{5+p}2=\alpha$

• $\alpha$ 짝수일 때,

  $\cfrac {\alpha }2 =5$

  $\alpha =10$

  대입하면, $p=15$

  $5\to 10\to 5,~15\to 15$

• $\alpha$ 홀수일 때,

  $\cfrac {\alpha +p}2 =5$

  $\alpha =10-p$

  $\cfrac {5+p}2 =10-p$

  $p=5$

  아이고 의미 없다...

vii. 정리

$\therefore~p=5,~7,~15,~35$

$\therefore~5+7+15+35=62$