2018학년도 06월 나형 29번

29. 공차가 $0$이 아닌 등차수열 $\big\{a_n\big\}$이 있다. 수열 $\big\{b_n\big\}$은

이고, $2$이상의 자연수 $n$에 대하여

이다. $b_{10}=a_{10}$일 때, $\cfrac{b_8}{b_{10}}=\cfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

뭐 문제 자체가 깔끔하니 딱히 정리할 필요는 없을테고...

ii. 생각

• $a_n=b_1 +(n-1)d\quad d\neq 0$
• 무조건 풀 수 있는 문제를 내고, 수열 문제는 규칙이 있다. 없으면? 뭐 끝까지 계속 삽질해야지..

iii. 대입!

규칙이 눈에 안 보이니 대입을 하면서 찾아보자.

$b_1=a_1$

$b_2=2b_1+d$

$b_3=b_1-d$

$b_4=2b_1+2d\quad\quad \quad$혹시?

$b_5=3b_1+6d$

$b_6=2b_1+d\quad\quad$반복인가? 근데 $a_n$이 등차라.. 이왕 $b_6$까지 온거 그냥 다 구하라는 문제인가 보다.

$b_7=3b_1+7d$

$b_8=4b_1+14d$

$b_9=3b_1+6d$

$b_{10}=4b_1+15d$

헐....딱히....뭐 계산에 필요한 건 구했으니까...

iv. 조건을 이용하자.

$b_{10}=a_{10}$

$4b_1+15d=b_1+9d$

$\therefore~3b_1=-6d\quad \longrightarrow \quad b_1=-2d$

대입해서 계산하자.

$\cfrac {b_8}{b_{10}}= \cfrac {6d}{7d}=\cfrac 67$

$\therefore~p+q=13$