2017년 03월 나형 21번

21. 자연수 $m$$m$에 대하여 집합 $A_m$$A_m$을

$$A_m=\{(a,b)|2^a=\frac{m}{b},a,b\text{는 자연수}\}$$

라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $A_4=\{(1,2),(2,1)\}$$A_4=\big\{(1,~2),~(2,~1)\big\}$

ㄴ. 자연수 $k$$k$에 대하여 $m=2^k$$m=2^k$이면 $n(A_m)=k$$n(A_m)=k$이다.

ㄷ. $n(A_m)=1$$n(A_m)=1$이 되도록 하는 두 자리 자연수 $m$$m$의 개수는 $23$$23$이다.

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i. 정리

• $m\in \mathbb{N}$$m\in\mathbb N$
• $A_m=\{(a,b)|2^a=\frac{m}{b},a,b\in \mathbb{N}\}$$A_m=\Big\{ (a,~b)\Big|2^a =\cfrac mb,~a,~b\in\mathbb N\Big\}$

ii. ㄱ.

• $A_4=\{(a,b)|2^a=\frac{4}{b},a,b\in \mathbb{N}\}$$A_4=\Big\{ (a,~b)|2^a =\cfrac 4b,~a,~b\in\mathbb N\Big\}$

  $a=1⟶b=2$$a=1\quad \longrightarrow\quad b=2$

  $a=2⟶b=1$$a=2\quad\longrightarrow\quad b=1$

True

iii. ㄴ.

$A_{2^k}=\{(a,b)|2^a=\frac{2^k}{b}\}$$A_{2^k}=\Big\{(a,~b)\Big|~2^a=\cfrac{2^k}b\Big\}$

$a=1⟶b=2^{k-1}$$a=1\quad \longrightarrow\quad b=2^{k-1}$

$a=2⟶b=2^{k-2}$$a=2\quad \longrightarrow\quad b=2^{k-2}$

$a=3⟶b=2^{k-3}$$a=3\quad \longrightarrow\quad b=2^{k-3}$

$⋮$$\quad \quad \quad\vdots$

$a=k⟶b=2^1$$a=k\quad \longrightarrow\quad b=2^{1}$

$\therefore n(A_{2^k})=k$$\therefore~n(A_{2^k})=k$

True

iv. ㄷ.

어랏? 감이 안 온다...대입해서 규칙을 찾아보자.

• $A_{10}⟶2^a=\frac{10}{b}$$A_{10} \quad \longrightarrow \quad 2^a =\cfrac {10}b$

  $a=1⟶b=5$$a=1\quad \longrightarrow \quad b=5$

  어랏? 한개다?

• $A_{11}⟶2^a=\frac{11}{b}$$A_{11}\quad \longrightarrow\quad 2^a=\cfrac {11}b$

  이건 없고...

• $A_{12}⟶2^a=\frac{12}{b}$$A_{12}\quad \longrightarrow\quad 2^a=\cfrac {12}b$

  $a=1⟶b=6$$a=1\quad \longrightarrow\quad b=6$

  $a=2⟶b=3$$a=2\quad \longrightarrow\quad b=3$

  이건 안되네?

• $A_{13}$$A_{13}$도 안되고...

아무래도 규칙은 짝수일 때 나올 거 같은데...

• $A_{14}⟶2^a=\frac{14}{b}$$A_{14}\quad\longrightarrow\quad 2^a =\cfrac {14}b$

  $a=1⟶b=7$$a=1\quad\longrightarrow\quad b=7$

  어?

$m=10,14,18$$m=10,~14,~18$인가? $\{\begin{array}{l}10=2\cdot 5\\ \\ 14=2\cdot 7\end{array}$$\begin{cases} 10=2\cdot 5 \\ \\ 14=2\cdot 7 \end{cases}$

$2\times (2k+1)(k=2,3,\cdots )$$2\times (2k+1)\quad (k=2,~3,\cdots)$ 이건가?

확인해보자.

• $A_{2(2k+1)}⟶2^a=\frac{2(2k+1)}{b}$$A_{2(2k+1)}\quad \longrightarrow\quad 2^a =\cfrac {2(2k+1)}b$

  $a=1⟶b=2k+1$$a=1\quad \longrightarrow\quad b=2k+1$

  어랏?유.일.하.다.

  이거군.

$2\times (2k+1)$$2\times (2k+1)$이 두 자리 자연수인 경우는 $k=2,3,\cdots ,24$$k=2,3,~\cdots ,~24$

$2\sim 5⟶5-2+1$$2\sim 5\quad \longrightarrow \quad 5-2+1$

$2\sim 24⟶24-2+1=23$$2\sim 24\quad \longrightarrow\quad 24-2+1=23$

True