2017학년도 9월 나형 30번

30. 좌표평면에서 자연수 $n$$n$에 대하여 영역

$$\{(x,y)|0\le x\le n,0\le y\le \frac{\sqrt{x+3}}{2}\}$$

에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 $f(n)$$f(n)$이라 하자.

(가) 각 꼭짓점의 $x$$x$ 좌표, $y$$y$ 좌표가 모두 정수이다.

(나) 한 변의 길이가 $\sqrt{5}$$\sqrt 5$ 이하이다.

예를 들어 $f(14)=15$$f(14)=15$이다. $f(n)\le 400$$f(n)\le 400$을 만족시키는 자연수 $n$$n$의 최댓값을 구하시오.

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어...? 나형에서는 격자점 문제가 사라진 게 아니었구나. 이번 과정에는 들어가나?

i. 정리

• 격자점 문제다...귀찮게 시리...
• 무리함수의 치역이 정수가 되는 점들이 중요하다!
• 한변의 길이는 $1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5}$$1,~\sqrt 2,~\sqrt 3,~2,~\sqrt 5$가 가능하다.

ii. 생각

• 격자점의 경계(?)가 되는 점을 찾도록 하자.

  

  $\frac{\sqrt{x+3}}{2}=kk=1,2,3,\cdots$$\cfrac{\sqrt{x+3}}2=k\quad k=1,~2,~3,~\cdots$

• 정사각형의 한 변의 길이로 가능한 길이는 $1,\sqrt{2},2,\sqrt{5}$$1,~\sqrt 2,~2,~\sqrt 5$

  와....빡쎄겠....

• 이해를 돕기 위해 격자점만 뽑아서 대충 그리면,

  

• 정사각형이 나오는 갯수를 확인하기 위해 경우를 확인하자.

  

iii. 구간 별로 나누어 접근하자. ( $x=13,33,63$$x=13,~33,~63$인 경계선에서의 정사각형 갯수에 주의하자. 직접 그려서 해보길...일일이 그리기에는 너무 귀찮다.)

• $1\le x\le 13$$1\le x\le 13$일 때,

  • 한 변의 길이는 1만 가능하다.

  $\therefore 1\times 12=12$$\therefore~1\times 12=12$

• $13\le x\le 33$$13\le x\le 33$

  • 한 변의 길이는 $1,\sqrt{2},2$$1,~\sqrt 2,~2$가 가능하다.

    • 한 변의 길이가 $1$$1$인 경우 : $2\times 20$$2\times 20$

      $x=13$$x=13$부터 $x=32$$x=32$까지

    • 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$$\sqrt 2$인 경우 : $20$$20$ ($\because (13,2),(12,1),(13,0),(14,1)$$\because~ (13,~2),~(12,~1),~(13,~0),~(14,~1)$ 포함할 것.. 그리기 귀찮아서 생략...)

      $x=14$$x=14$부터 $x=33$$x=33$까지 (기준점은 $(14,1),(15,1),\cdots ,(33,1)$$(14,~1),~(15,~1),~\cdots,~(33,~1)$

    • 한 변의 길이가 $2$$2$인 경우 : $19$$19$

      $x=13$$x=13$부터 $x=31$$x=31$까지 (기준점은 $(13,0),(14,0),\cdots ,(31,0)$$(13,0),~(14,~0),~\cdots,~(31,~0)$

$f(33)=12+40+20+19=91$$f(33)=12+40+20+19=91$

아직 멀었네....

• $33\le x\le 63$$33\le x\le 63$

  • 한 변의 길이가 $1,\sqrt{2},2,\sqrt{5}$$1,~\sqrt 2,~2,~\sqrt 5$가 가능하다.

    • 한 변의 길이가 $1$$1$인 경우 : $30\times 3$$30\times 3$
    • 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$$\sqrt 2$인 경우 : $2\times (63-34+1)$$2\times (63-34+1)$
    • 한 변의 길이가 $2$$2$인 경우 : $1+2\times (63-35+1)$$1+2\times(63-35+1)$
    • 한 변의 길이가 $\sqrt{5}$$\sqrt 5$인 경우 : $2\times (63-35+1)$$2\times (63-35+1)$

$f(63)=91+90+60+59+58=358$$f(63)=91+90+60+59+58=358$

헐...거의 근접했다... 정사각형 $42$$42$개만 더 나오면 된다....

• 다음 경계에서 추가되는 사각형의 갯수를 계산하자.

  • 한 변의 길이가 1일 때 : $(n-63)\cdot 4(64\le n)$$(n-63)\cdot 4\quad (64\le n)$

  • 한 변의 길이가 $\sqrt{2}$$\sqrt 2$일 때 : $(n-63)\cdot 3(64\le n)$$(n-63)\cdot 3\quad(64\le n)$

  • 한 변의 길이가 $\sqrt{5}$$\sqrt 5$일 때 : $(n-64)\cdot 4+3(64\le n)$$(n-64)\cdot 4+3\quad (64\le n)$

  • 한 변의 길이가 $2$$2$일 때 : $3\times (n-63)+2(65\le n)$$3\times (n-63)+2\quad (65\le n)$

    추가되는 사각형의 갯수는 $14n-881$$14n-881$

$\therefore 14n-881\le 42$$\therefore~14n-881\le 42$를 만족시키는 자연수를 구하면 된다...

$n<66$$n< 66$

$\therefore n=65$$\therefore~n=65$

아오....격자점 문제는 이래서 짜증이.... 얼마나 잘 그리느냐에 달려있는 산수문제이지 수학문제는 아닌 거 같아...