2017학년도 6월 나형 30번

30. 다음 조건을 만족시키는 $20$$20$이하의 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합을 구하시오.

${\log }_2(na-a^2)$$\log_2(na-a^2)$와 ${\log }_2(nb-b^2)$$\log_2(nb-b^2)$은 같은 자연수이고 $0<b-a\le \frac{n}{2}$$0<b-a\le \cfrac n2$인 두 실수 $a,b$$a,~b$가 존재한다.

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i. 정리

• ${\log }_2(na-a^2)={\log }_2(nb-b^2)=kk\in \mathbb{N}$$\log_2(na-a^2 )=\log_2(nb-b^2)=k\quad k\in\mathbb N$
• $0<b-a\le \frac{n}{2}$$0<b-a\le \cfrac n2$인 $a,b$$a,~b$가 존재

ii. 생각

• ${\log }_2(na-a^2)={\log }_2(nb-b^2)$$\log_2(na-a^2)=\log_2(nb-b^2)$

  $na-a^2=nb-b^2$$na-a^2=nb-b^2$

  어? $a,b$$a,~b$와 문자가 서로 바뀌어도 상관이 없다?

  $f(x)=-x^2+nx$$f(x)=-x^2+nx$라 하면, 위 식은 ${\log }_{2}f(a)={\log }_{2}f(b)$$\log_2 f(a)=\log_2 f(b)$

  오...그럼 이제 이 $y=f(x)$$y=f(x)$를 가지고 생각을 해보자.

• $y=f(x)$$y=f(x)$

  당연히 이해를 돕기위해 그래프를 그리고, 대칭성을 이용하여 $a,b$$a,~b$를 표현하자.

  

  • 꼭짓점 $(\frac{n}{2},\frac{n^2}{4})$$\Big(\cfrac n2,~\cfrac {n^2}4\Big)$

  • $b-a=(\frac{n}{2}+\alpha )-(\frac{n}{2}-\alpha )=2\alpha$$b-a=\big(\cfrac n2 +\alpha)-(\cfrac n2 -\alpha)=2\alpha$

    $0<2\alpha \le \frac{n}{2}⟶0<\alpha \le \frac{n}{4}$$0<2\alpha\le \cfrac n2\quad \longrightarrow \quad 0<\alpha\le \cfrac n4$

    이 식을 관찰하면, $a$$a$의 최솟값은 $\frac{n}{2}-\frac{n}{4}=\frac{n}{4}$$\cfrac n2 -\cfrac n4=\cfrac n4$임을 알 수 있다. ($\because \alpha$$\because~\alpha$가 최대일 때)

    $f(\frac{n}{4})=\frac{3}{16}{n}^2$$f\big(\cfrac n4\big)=\cfrac 3{16}n^2$

  $\therefore \frac{3}{16}{n}^2\le 2^k<\frac{n^2}{4}$$\therefore~\cfrac 3{16}n^2 \le 2^k<\cfrac{n^2}4$

와우...더러운 부등식을 풀어야 하네...

iii. 계산

• 부등식을 좀 정리하자.

  • $3n^2\le 2^{k+4}\mathrm{\&}{2}^{k+2}<n^2$$3n^2 \le 2^{k+4}\quad \&\quad 2^{k+2}<n^2$

• $k=1$$k=1$이면,

  $3n^2\le 32,8<n^2$$3n^2 \le 32,~8<n^2$

  $\therefore n=3$$\therefore~n=3$

• $k=2$$k=2$이면,

  $3n^2\le 64,16<n^2$$3n^2 \le64,~16<n^2$

  존재하지 않는다.

• $k=3$$k=3$이면,

  $3n^2\le 128,32<n^2$$3n^2 \le128,~32<n^2$

  $\therefore n=6$$\therefore~n=6$

• $k=4$$k=4$이면,

  $3n^2\le 256,64<n^2$$3n^2\le 256,~64<n^2$

  $\therefore n=9$$\therefore~n=9$

와..이거 언제까지 해야해....

• $k=5$$k=5$이면,

  $3n^2\le 512,128<n^2$$3n^2\le 512,~128<n^2$

  $\therefore n=12,13$$\therefore~n=12,~13$

• $k=6$$k=6$이면,

  $3n^2\le 1024,256<n^2$$3n^2\le 1024,~256<n^2$

  $\therefore n=17,18$$\therefore~n=17,~18$

• $k=7$$k=7$이면,

  $3n^2\le 2048,512<n^2$$3n^2\le 2048,~512<n^2$

  오.. $20$$20$ 넘어갔다!

$\therefore n=3,6,9,12,13,17,18$$\therefore~n=3,~6,~9,~12,~13,~17,~18$

$\therefore n$$\therefore~n$의 합은 $78$$78$