2017학년도 11월 나형 21번

21. 좌표평면에서 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+10& (x<10)\\ \\ (x-10{)}^2& (x\ge 10)\end{array}\end{array}$$

과 자연수 $n$$n$에 대하여 점 $(n,f(n))$$\big(n,~f(n)\big)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$$3$인 원 $O_n$$O_n$이 있다. $x$$x$ 좌표와 $y$$y$ 좌표가 모두 정수인 점 중에서 원 $O_n$$O_n$의 내부에 있고 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개수를 $A_n$$A_n$, 원 $O_n$$O_n$의 내부에 있고 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프의 윗부분에 있는 모든 점의 개수를 $B_n$$B_n$이라 하자. $\sum _{n=1}^{20}(A_n-B_n)$$\sum\limits_{n=1}^{20}\big(A_n-B_n\big)$의 값을 구하시오.

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아오...또 격자점...문과는 격자점 문제 밖에 없나? 고난도 문제에서 낼 것이? 수열도 있고...

i. 정리

• 반지름이 $3$$3$인 원 내부에 격자점은?

  

• $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+10& (x<10)\\ \\ (x-10{)}^2& (x\ge 10)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -x+10&(x<10)\\ \\ (x-10)^2&(x\ge 10)\end{cases}$

ii. 생각

• $1\le n\le 8$$1\le n\le 8$ 일 때,

  왜 $n=8$$n=8$일 때가 경계가 될까?

  원 내부의 격자점을 생각하면, 가장 오른쪽 아래의 격자점은 $n=8$$n=8$일 때, $(10,0)$$(10,~0)$이 된다!

  

  그리고 이때, $A_n=B_n$$A_n=B_n$이다.

  $\therefore \sum _{n=1}^8(A_n-B_n)=0$$\therefore~\sum\limits_{n=1}^8\big(A_n-B_n\big)=0$

이제부터가 중요하다.. 다음 특이점을 찾을 때까지...잘 그리자...잘 그리자...그것 뿐이 없다...

• $n=9$$n=9$ 일 때,

  

  $A_9-B_9=12-8=4$$A_9-B_9=12-8=4$

• $n=10$$n=10$ 일 때,

  

  $A_{10}-B_{10}=17-4=13$$A_{10}-B_{10}=17-4=13$

• $n=11$$n=11$ 일 때,

  

  $A_{11}-B_{11}=15-7=8$$A_{11}-B_{11}=15-7=8$

• $n=12$$n=12$ 일 때,

  

  $A_{12}-B_{12}=0$$A_{12}-B_{12}=0$

• $n=13$$n=13$ 일 때,

  

  오!

  $A_{13}-B_{13}=0$$A_{13}-B_{13}=0$

• $12\le n\le 20$$12\le n\le 20$ 일 때, $A_n-B_n=0$$A_n-B_n=0$ 이다!

iii. 계산

$\sum _{n=1}^{20}(A_n-B_n)=4+13+8=25$$\sum\limits_{n=1}^{20}\Big(A_n-B_n\Big)=4+13+8=25$

• 격자점 문제는 진짜 그래프를 잘 그리고, 정수가 되는 부분만 잘 생각하면 되는 건데...산수문제인데...허....