2024학년도 09월 미적분 30번

30. 길이가 $10$$10$인 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 원과 선분 $AB$$AB$ 위에 $\overline{AC}=4$$\overline{ AC}=4$인 점 $C$$C$가 있다. 이 원 위의 점 $P$$P$를 $\mathrm{\angle }PCB=\theta$$\angle PCB=\theta$가 되도록 잡고, 점 $P$$P$를 지나고 선분 $AB$$AB$에 수직인 직선이 이 원과 만나는 점 중 $P$$P$가 아닌 점을 $Q$$Q$라 하자. 삼각형 $PCQ$$PCQ$의 넓이를 $S(\theta )$$S(\theta)$라 할 때, $-7\times S^{\prime }(\frac{\pi }{4})$$-7\times S'\Big(\cfrac {\pi}4\Big)$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$$0<\theta<\cfrac {\pi}2$)

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i. 정리

• 당연히 해야할 것부터 하자.

  

  원의 중심을 $O$$O$라 하고, $\overline{PQ}$$\overline{PQ}$와 $\overline{AB}$$\overline{AB}$의 교점을 $H$$H$라 하자.

  • $\overline{CO}=1,\overline{OP}=5$$\overline{CO}=1,~\overline{OP}=5$

  • 한박자 쉬고....코사인 제$2$$2$법칙을 떠올려두면..어? $\overline{PC}$$\overline{PC}$는 $\theta$$\theta$로 표현할 수 있다!

    $5^2={\overline{CO}}^2+{\overline{PC}}^2-2\overline{PC}\cdot \overline{CO}\cdot \cos \theta$$5^2 =\overline{ CO}^2 +\overline{ PC}^2 -2\overline{ PC}\cdot \overline{ CO}\cdot \cos \theta$

    $25=1+x^2-2\cos \theta x$$25=1+x^2 -2\cos \theta x$

    $x^2-2\cos \theta x-24=0$$x^2 -2\cos \theta x -24=0$​

    편의상 $x=\overline{PC}$$x=\overline{ PC}$라 하자.

  • 어랏...$\mathrm{△}PCQ$$\triangle PCQ$의 넓이를 구할 수 있다.

    $S(\theta )=\frac{1}{2}\times x\times x\times \sin 2\theta$$S(\theta)=\cfrac 12 \times x\times x\times \sin 2\theta$

    아.....$x$$x$를 구해서 대입해서 미분해서 풀기는...싫다...

    싫어....

    $\begin{array}{rl}{S}^{\prime }(\theta )& =(\frac{1}{2}{x}^2\sin 2\theta {)}^{\prime }\\ & =(x\sin 2\theta +x^2\cos 2\theta )\frac{dx}{d\theta }\end{array}$$\begin{aligned} S'(\theta)&=(\cfrac 12 x^2 \sin 2\theta)'\\ &= \big(x\sin 2\theta +x^2 \cos 2\theta\big)\cfrac {dx}{d\theta}\\ \end{aligned}$

    • $\theta =\frac{\pi }{4}$$\theta=\cfrac {\pi}4$를 넣어서 필요한 값들을 구해놓자.

      • $x^2-2\cos \frac{\pi }{4}x-24=0$$x^2 -2\cos \cfrac{\pi}4 x -24=0$

        $x^2-\sqrt{2}x-24=0$$x^2 -\sqrt 2 x -24=0$

        $x=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{2+96}}{2}=4\sqrt{2}(\because x>0)$$x=\cfrac {\sqrt 2 \pm \sqrt{2+96}}{2}=4\sqrt 2\quad (\because ~x>0)$

      • $2x\frac{dx}{d\theta }=-2\sin \theta x+2\cos \theta \frac{dx}{d\theta }$$2x \cfrac {dx}{d\theta} =-2\sin \theta x +2\cos \theta \cfrac{dx}{d\theta}$

        $(x-\cos \theta )\frac{dx}{d\theta }=-\sin \theta \cdot x$$(x-\cos \theta)\cfrac {dx}{d\theta} =-\sin \theta \cdot x$

        $(4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})\frac{dx}{d\theta }{|}_{x=4\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 4\sqrt{2}$$(4\sqrt2 -\cfrac {\sqrt 2}{2})\cfrac {dx }{d\theta}\Big|_{x=4\sqrt 2}=-\cfrac {\sqrt 2}2 \cdot 4\sqrt 2$

        $\therefore \frac{dx}{d\theta }=-\frac{4\sqrt{2}}{7}$$\therefore~ \cfrac {dx}{d\theta} =-\cfrac {4\sqrt 2}7$

ii. 계산

$\begin{array}{rl}{S}^{\prime }(\frac{\pi }{4})& =(4\sqrt{2})\times -\frac{4\sqrt{2}}{7}\\ & =-\frac{32}{7}\end{array}$$\begin{aligned}S'(\cfrac {\pi}4)&=(4\sqrt 2)\times -\cfrac {4\sqrt 2}7\\ &=-\cfrac {32}{7} \end{aligned}$

$\therefore -7\times -\frac{32}{7}=32$$\therefore~ -7\times -\cfrac {32}7=32$