2023년 10월 미적분 30번

30. 두 정수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $f(x)=(x^2+ax+b)e^{-x}$$f(x)=(x^2 +ax+b)e^{-x}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$$f(x)$는 극값을 갖는다.

(나) 함수 $|f(x)|$$|f(x)|$가 $x=k$$x=k$에서 극대 또는 극소인 모든 $k$$k$의 값의 합은 $3$$3$이다.

$f(10)=p{e}^{-10}$$f(10)=pe^{-10}$일 때, $p$$p$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 가능한 그래프의 개형을 살펴보자

  $D=a^2-4b$$D=a^2 -4b$라 할 때,

  

  우선 극값을 가져야하니 $D\ge 0$$D\ge 0$일 때만 살펴보면 되겠다.

ii. $D=0$$D=0$일 때,

• $a^2=4b$$a^2 =4b$

• $f^{\prime }(x)=(2x+a-x^2-ax-b)e^{-x}$$f'(x)=(2x+a -x^2 -ax-b)e^{-x}$

  $f^{\prime }(x)=-(x^2+(a-2)x-(a-b))e^{-x}$$f'(x)=-(x^2 +(a-2) x -(a-b))e^{-x}$

  $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 두근이 극값이다.

• $|f(x)|$$|f(x)|$의 극값은 $f(x)$$f(x)$의 극값과 일치한다.

• $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 두 근의 합은 $-a+2=3$$-a+2=3$

  $a=-1$$a=-1$

  $b=\frac{1}{4}$$b=\cfrac 14$

  그런데, $b$$b$가 정수가 아니므로 제외....

iii. $D>0$$D>0$일 때,

• $a^2-4b>0$$a^2 -4b>0$

• $|f(x)|$$|f(x)|$의 극값은 $f(x)=0$$f(x)=0$의 근과 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 근이다.

  $-a-(a-2)=3$$-a-(a-2)=3$

  $-2a=1$$-2a=1$

  조건에 위배 된다.

iv. 어..? 아... $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프가 $x$$x$축과의 교점이 없지만 극값만 존재할 때가 있구나.

• $a^2-4b<0$$a^2 -4b<0$

• $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 근이 곧 극값이고 이 근의 합은 $-a+2=3$$-a+2=3$

  $\therefore a=-1$$\therefore~ a=-1$

  $a^2-4b<0$$a^2 -4b<0$에서 $\frac{1}{4}<b$$\cfrac 14 <b$

• 그리고 당연히 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$은 서로 다른 두 근을 가져야 한다.

  $f^{\prime }(x)=-(x^2-3x+(1+b))e^{-x}$$f'(x)=-(x^2 -3x+(1+b))e^{-x}$

  $9-4(1+b)>0$$9-4(1+b)>0$

  $b<\frac{5}{4}$$b<\cfrac 54$

$\therefore a=-1$$\therefore~ a=-1$이고 $\frac{1}{4}<b<\frac{5}{4}$$\cfrac 14<b<\cfrac 54$

v. 계산

$f(x)=(x^2-x+1)e^{-x}$$f(x)=(x^2 -x+1)e^{-x}$

$f(10)=91e^{-10}$$f(10) =91e^{-10}$

$\therefore p=91$$\therefore~ p=91$