2023년 10월 미적분 29번

29. 그림과 같이 $\overline{AB}=\overline{AC},\overline{BC}=2$$\overline{ AB}=\overline{AC},~\overline{BC}=2$인 삼각형 $ABC$$ABC$에 대하여 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 원이 선분 $AC$$AC$와 만나는 점 중 $A$$A$가 아닌 점을 $D$$D$라 하고, 선분 $AB$$AB$의 중점을 $E$$E$라 하자. $\mathrm{\angle }BAC=\theta$$\angle BAC=\theta$일 때, 삼각형 $CDE$$CDE$의 넓이를 $S(\theta )$$S(\theta)$라 하자. $60\times \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{S(\theta )}{\theta }$$60\times \lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {S(\theta)}{\theta}$의 값을 구하시오. $($$\Big($단, $0<\theta <\frac{\pi }{2})$$0<\theta<\cfrac {\pi}2\Big)$

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i. 정리

• 원의 반지름을 $r$$r$이라 하면,

  $\overline{AB}=\overline{AC}=2r$$\overline{ AB}=\overline{ AC}=2r$

  $\overline{ED}=r$$\overline{ED}=r$

• $\mathrm{△}AED$$\triangle AED$에서 $\overline{AD}=2r\cos \theta$$\overline{ AD}=2r\cos\theta$

  $\therefore \overline{DC}=2r-2r\cos \theta =2r(1-\cos \theta )$$\therefore~ \overline{ DC}=2r-2r\cos\theta =2r(1-\cos \theta)$

• $\mathrm{△}CDE$$\triangle CDE$에서

  $\overline{ED}=r$$\overline{ ED}=r$

  $\overline{CD}=2r(1-\cos \theta )$$\overline{ CD}=2r(1-\cos \theta)$

  $r$$r$과 $\theta$$\theta$의 관계만 알아내면 $S(\theta )$$S(\theta)$를 구할 수 있다.

ii. $\theta$$\theta$와 $r$$r$의 관계를 찾아보자.

아직 활용하지 않은 조건 $\overline{BC}$$\overline{ BC}$를 살펴보자. $A$$A$에서 $\overline{BC}$$\overline{BC}$에 수선의 발을 $H$$H$라 하면,

$\mathrm{\angle }BHA=\frac{\pi }{2}$$\angle BHA=\cfrac {\pi}2$이고 $\mathrm{△}ABC$$\triangle ABC$가 이등변삼각형이니까 $\overline{BH}=1$$\overline{BH}=1$이다.

$\therefore \overline{AB}\sin \frac{\theta }{2}=1$$\therefore~ \overline{ AB}\sin \cfrac {\theta}2=1$

$2r\sin \frac{\theta }{2}=1$$2r\sin \cfrac {\theta}2 =1$

$\therefore r=\frac{1}{2\sin \frac{\theta }{2}}$$\therefore~ r=\cfrac 1{2\sin \cfrac {\theta}2}$

iii. 계산

$\begin{array}{rl}\circ S(\theta )& =\frac{1}{2}\times \overline{CD}\times \overline{DE}\times \sin (\mathrm{\angle }EDC)\\ & =\frac{1}{2}\times 2r(1-\cos \theta )\times r\times \sin (\pi -\theta )\\ & =r^2(1-\cos \theta )\sin \theta \\ & =\frac{(1-\cos \theta )\sin \theta }{4{\sin }^2\frac{\theta }{2}}\end{array}$$\begin{aligned}\circ ~ S(\theta)&=\cfrac 12 \times \overline{CD}\times \overline{ DE}\times \sin(\angle EDC)\\ &=\cfrac 12 \times 2r(1-\cos\theta)\times r\times \sin (\pi -\theta) \\ &=r^2 (1-\cos \theta)\sin \theta\\ &=\cfrac {(1-\cos\theta)\sin \theta}{4\sin^2 \cfrac {\theta}2 }\end{aligned}$

$\begin{array}{rl}\circ 60\times \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{S(\theta )}{\theta }& =60\times \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{(1-\cos \theta )\sin \theta }{4{\sin }^2\frac{\theta }{2}\cdot \theta }\\ & =15\times \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\frac{\theta }{2}(1+\cos \theta )}\\ & =15\times 2\\ & =30\end{array}$$\begin{aligned}\circ ~60\times \lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {S(\theta)}{\theta} &=60\times \lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {(1-\cos\theta)\sin \theta}{4\sin^2 \cfrac {\theta}2\cdot \theta }\\ &=15\times \lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {\sin ^2 \theta }{\sin ^2\cfrac{\theta}2(1+\cos\theta)}\\ &=15\times 2\\ &=30 \end{aligned}$