2024학년도 09월 미적분 29번

29. 두 실수 $a,b(a>1,b>1)$$a,~b(a>1,~b>1)$이 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3^n+a^{n+1}}{3^{n+1}+a^n}=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^n+b^{n+1}}{a^{n+1}+b^n}=\frac{9}{a}$$\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac {3^n +a^{n+1}}{3^{n+1}+a^n} =a,~\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac {a^n +b^{n+1}}{a^{n+1}+b^n}=\cfrac 9a$를 만족시킬 때, $a+b$$a+b$의 구하시오.

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i. 생각

• 당연히 $a$$a$의 범위를 정해야겠다.

  • $1<a<3$$1<a<3$일 때,

    $\frac{1}{3}=a$$\cfrac 13=a$

    모순이다.

  • $a=3$$a=3$일 때,

    $1=a$$1=a$

    모순

  • $3<a$$3<a$이면,

    $\frac{a}{1}=a$$\cfrac a1=a$

    어랏?

• 두번째 식을 살펴보자. $a$$a$와 $b$$b$의 대소로 경우를 나누어야겠다...

  • $3<a<b$$3<a<b$일 때

    $b=\frac{9}{a}$$b=\cfrac 9a$

    $ab=9$$ab=9$

    모순

  • $3<b<a$$3<b<a$이면,

    $\frac{1}{a}=\frac{9}{a}$$\cfrac 1a=\cfrac 9a$

    모순

  • $3<a=b$$3<a=b$이면

    $1=\frac{9}{a}$$1=\cfrac 9a$

    $a=b=9$$a=b=9$

$\therefore a+b=18$$\therefore~ a+b=18$