2023년 07월 미적분 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $g(x)=\sin |\pi f(x)|$$g(x)=\sin |\pi f(x)|$라 하자. 함수 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프와 $x$$x$축이 만나는 점의 $x$$x$ 좌표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$$n$번째 수를 $a_n$$a_n$이라 하자. 함수 $g(x)$$g(x)$와 자연수 $m$$m$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=a_4$$x=a_4$와 $x=a_8$$x=a_8$에서 극대이다.

(나) $f(a_m)=f(0)$$f(a_m)=f(0)$

$f(a_k)\le f(m)$$f(a_k)\le f(m)$을 만족시키는 자연수 $k$$k$의 최댓값을 구하시오.

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i. 생각

• $f(x)=x^3+\sim$$f(x)=x^3 +\sim$

• $g(x)=\sin |\pi f(x)|$$g(x)=\sin |\pi f(x)|$

  • $f(x)$$f(x)$가 정수일 때마다 $g(x)=0$$g(x)=0$

  • 그런데 극댓값은?? (우선 생각하기 편하기 위해 $f(x)\ge 0$$f(x)\ge 0$일 때만을 생각하자.)

    $\sin$$\sin$함수를 생각하면 $f(x)$$f(x)$가 정수일 때 극값이 되지는 않는다...어?

    그럼 $f(x)$$f(x)$가 극값일 때와 겹치겠다!

    그런데 극댓값을 두개 가진다???

    그럼 극솟값이 음수라서 절댓값의 영향을 받아서 극대로 변한다!

    그리고 조건 (나)를 보면, $f(a_4)=f(a_8)$$f(a_4)=f(a_8)$임을 알 수 있다.

    이를 토대로 대충 그래프 개형을 그려보자.

• $f(x)$$f(x)$의 개형은?

  

  임을 유추해낼 수 있다. $x$$x$축과 $y=f(a_4)$$y=f(a_4)$ 사이에는 정수가 하나면 된다? 어어?

  $f(a_4)=2,f(a_8)=-2$$f(a_4)=2,~f(a_8)=-2$

  그리고 더 유추하면 $f(a_1)=-1$$f(a_1)=-1$임을 알 수 있는데.....

  • $f(a_m)=f(0)$$f(a_m)=f(0)$이란 조건을 어떻게 사용할까?

    아...어떤 자연수 $m$$m$이구나 ㅡㅡ;;

    나만 모든 자연수인가? 하고 헷갈린 거 아니지...?

    아무튼...그럼 $f(a_8)=f(0)$$f(a_8)=f(0)$이네..

    순서대로 가면 $a_0$$a_0$인데 수열은 $a_1$$a_1$부터 시작이니까...

    아무튼 정리하면 $f(0)=-2$$f(0)=-2$임을 알았다.

    그러면 함수의 형태는 $f(x)=x(x-a_8{)}^2-2$$f(x)=x(x-a_8)^2 -2$로 표현이 가능하고,

    $f(a_4)=2$$f(a_4)=2$가 되는 $a_8$$a_8$의 값을 구하면 된다!

ii. 계산하자.

• 미분하자!

  $f^{\prime }(x)=(x-a_8)(3x-a_8)$$f'(x)=(x-a_8)(3x-a_8)$

  당연히 계산 생략 ㅋㅋㅋㅋ

  $f(\frac{a_8}{3})=2$$f(\cfrac{a_8}3)=2$

  어우.....

• 산수를 풀자..

  $f(\frac{a_8}{3})=\frac{a_8}{3}(-\frac{2a_8}{3}{)}^2-2=2$$f(\cfrac {a_8}3)=\cfrac {a_8}3 (-\cfrac {2a_8}3)^2 -2=2$

  $\frac{4a_8^3}{27}=4$$\cfrac {4a_8^3}{27}=4$

  $\therefore a_8=3$$\therefore~ a_8=3$

  $\therefore f(x)=x(x-3{)}^2-2$$\therefore~ f(x)=x(x-3)^2 -2$

• $f(a_k)\le f(8)=8\cdot 5^2-2$$f(a_k)\le f(8)=8\cdot 5^2 -2$를 풀자

  $f(a_k)\le 198$$f(a_k)\le 198$

  아우...

  $f(a_{10})=0$$f(a_{10})=0$

  $f(a_{11})=1$$f(a_{11})=1$

  $⋮$$\quad \vdots$

  $f(a_{208})=198$$f(a_{208})=198$

$\therefore k_{max}=208$$\therefore~ k_{max}=208$