2024학년도 06월 미적분 30번

30. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$은 등비수열이고, 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{b}_n=\{\begin{array}{ll}-1& (a_n\le -1)\\ a_n& (a_n>-1)\end{array}\end{array}$$b_n=\begin{cases} -1 &(a_n\le -1) \\ a_n &(a_n>-1)\end{cases}$이라 할 때, 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n-1}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}$은 수렴하고 그 합은 $-3$$-3$이다.

(나) 급수 $\sum\limits_{ n=1}^{\infty} b_{2n} $은 수렴하고 그 합은 $8$$8$이다.

$b_3=-1$$b_3=-1$일 때, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a_n=a_1{r}^{n-1}$$a_n=a_1 r^{n-1}$

• $a_3\le -1$$a_3\le-1$

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=-3+8=5$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n=-3+8=5$

ii. 시발... 생각하자.

• $a_3=a_1{r}^2=-1⟶a_1<0$$a_3=a_1 r^2 =-1\quad \longrightarrow \quad a_1<0$

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n-1},\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n, ~\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n-1},~\sum\limits_{ n=1}^{\infty} b_{2n}$이 수렴한다...?

  $a_n\le -1$$a_n\le -1$이 무수히 많으면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$$\lim\limits_{ n\to \infty} b_n=0$으로 수렴할 리 없으니까, $a_n$$a_n$이 어느 지점을 넘어서면 $a_n>-1$$a_n>-1$이라는 소리겠다? (등비수열이고 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$$\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0$을 만족시켜야하니까.)

  • 편의상 $a_k>-1k\ge 3$$a_k>-1\quad k\ge 3$일 때라고 생각을 해보자.

    그럼 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=\sum _{n=1}^k{b}_n+\sum _{n=k+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n =\sum\limits_{n=1}^kb_n +\sum\limits_{n=k+1}^{\infty} a_n$으로 볼 수 있다.

    여기서 $|r|<1$$|r|<1$이고 $r\ne 0$$r\neq 0$임을 알 수 있다.

  • $a_5$$a_5$를 생각해보자.

    $a_5=a_1{r}^4=a_1{r}^2\times r^2=a_3\cdot r^2$$a_5=a_1 r^4=a_1r^2 \times r^2=a_3\cdot r^2$이고, $|r|<1$$|r|<1$이므로 $0>a_5>a_3$$0>a_5>a_3$임을 알 수 있다.

    어? $k=3$$k=3$이다.....

  • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n-1}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}$을 살펴보자.

    $\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n-1}& =b_1+b_3+b_5+\cdots \\ & =b_1+b_3+\sum _{k=3}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n-1}\\ & =b_1-1+\frac{a_1{r}^4}{1-r^2}\\ & =-3\end{array}$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n-1}&=b_1+b_3 +b_5+\cdots\\ &=b_1 +b_3+\sum\limits_{k=3}^{\infty} a_{2n-1}\\ &= b_1- 1+\cfrac {a_1 r^4}{1-r^2}\\ &=-3\end{aligned}$

    여기서 $b_1$$b_1$에 대해 생각해보자.

    $a_3$$a_3$와 $a_1$$a_1$을 생각하면 당연히!! $a_1<a_3$$a_1<a_3$임은 명백하다. ($\because a_1,a_1{r}^2$$\because ~a_1 ,~a_1 r^2$의 대소비교이고 $r^2<1$$r^2<1$이고 $a_1<0$$a_1<0$이다.)

    $\therefore b_1=-1$$\therefore~ b_1=-1$이고 $a_1\le -1$$a_1\le -1$

    그러면, $\frac{a_1{r}^4}{1-r^2}=-1$$\cfrac {a_1r^4}{1-r^2 } =-1$이란 조건을 알 수 있다.

  • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{2n}$을 살펴보자.

    $\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n}& =b_2+b_4+\cdots \\ & =b_2+a_4+a_6+\cdots \\ & =b_2+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n}\\ & =b_2+\frac{a_1{r}^3}{1-r^2}\\ & =8\end{array}$$\begin{aligned} \sum\limits_{ n=1}^{\infty} b_{2n} &=b_2+b_4+\cdots \\ &=b_2+a_4 +a_6 +\cdots \\ &=b_2 +\sum\limits_{ n=2}^{\infty}a_{2n} \\&=b_2+\cfrac {a_1r^3}{1-r^2} \\&=8 \end{aligned}$

    흠....

    $a_1\le -1$$a_1\le -1$을 이용하자..

    i. $0<r<1$$0<r<1$이면,

    $a_2=a_{1}r$$a_2=a_1 r$이므로 $-1<a_{1}r<0$$-1<a_1 r<0$

    $b_2=a_2$$b_2=a_2$

    ii. $-1<a<0$$-1<a<0$이면,

    $0<a_2$$0<a_2$이므로 $b_2=a_2$$b_2=a_2$

    어랏...뭘해도.....$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_{2n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}$

    $\therefore \frac{a_{1}r}{1-r^2}=8$$\therefore~ \cfrac {a_1r}{1-r^2 }=8$

iii. 연립하자.

• $\frac{a_1{r}^4}{1-r^2}=-1,\frac{a_{1}r}{1-r^2}=8$$\cfrac {a_1r^4}{1-r^2 } =-1, ~ \cfrac {a_1r}{1-r^2 }=8$

  $\therefore r=-\frac{1}{2}$$\therefore~ r=-\cfrac 12$

$\frac{a_1\times -\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=8$$\cfrac {a_1 \times -\cfrac 12}{1-\cfrac 14} =8$

$\therefore a_1=-12$$\therefore~ a_1=-12$

iv. 계산하자..

$a_n=-12(-\frac{1}{2}{)}^{n-1}$$a_n=-12 \big(-\cfrac 12 )^{n-1}$

$\therefore \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}12(\frac{1}{2}{)}^{n-1}=\frac{12}{1-\frac{1}{2}}=24$$\therefore~ \sum\limits_{ n=1}^{\infty} |a_n| =\sum\limits_{ n=1}^{\infty} 12\big(\cfrac 12\big)^{n-1}=\cfrac {12}{1-\cfrac 12}=24$