2024학년도 06월 미적분 29번

29. 세 실수 $a,b,k$$a,~b,~k$에 대하여 두 점 $A(a,a+k),B(b,b+k)$$A(a,~a+k),~B(b,~b+k)$가 곡선 $C:x^2-2xy+2y^2=15$$C~:~x^2 -2xy+2y^2 =15$ 위에 있다. 곡선 $C$$C$위의 점 $A$$A$에서의 접선과 곡선 $C$$C$ 위의 점 $B$$B$에서의 접선이 서로 수직일 때, $k^2$$k^2$의 값을 구하시오. (단, $a+2k\ne 0,b+2k\ne 0$$a+2k\neq 0,~b+2k\neq 0$)

---

i. 생각

• 곡선 $C$$C$ 에서의 접선의 기울기를 구하자.

  뭐 당연히 미분하면,

  $2xdx-2ydx-2xdy+4ydy=0$$2xdx -2ydx -2xdy+4ydy=0$

  $\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{2-xy}(x\ne 2y)$$\cfrac {dy}{dx}=\cfrac {x-y}{2-xy}\quad (x\neq 2y)$

  뭐 왜 이렇게 접근하는 지 궁금하면 여기

• $A,B$$A,~B$가 곡선 위에 있다는 조건을 정리하자.

  • $A(a,a+k)$$A(a,~a+k)$를 이용하면,

    $a(a+2k)=15-2k^2$$a(a+2k)=15-2k^2$

  • $B(b,b+k)$$B(b,~b+k)$를 이용하면, (뭐 문자만 다르니까...)

    $b(b+2k)=15-2k^2$$b(b+2k)=15-2k^2$

어랏...이제 그냥 접선이 수직인 것만 이용하면, 되네?

ii. 대충 계산하자.

• $A$$A$에서의 기울기

  ${\frac{dy}{dx}}_{(a,a+k)}=\frac{k}{a+2k}$$\cfrac {dy}{dx}_{(a,~a+k)}=\cfrac k{a+2k}$

  당근 계산생략!!! ㅋㅋㅋㅋ

• $B$$B$에서의 기울기

  문자만 바뀐 것일테니까

  ${\frac{dy}{dx}}_{(b,b+k)}=\frac{k}{b+2k}$$\cfrac {dy}{dx}_{(b,~b+k)}=\cfrac k{b+2k}$

• $\frac{k}{a+2k}\times \frac{k}{b+2k}=-1$$\cfrac k{a+2k} \times \cfrac k{b+2k}=-1$

  • $a+2k=\frac{15-2k^2}{a}$$a+2k=\cfrac {15-2k^2}a$

  • $b+2k=\frac{15-2k^2}{b}$$b+2k=\cfrac {15-2k^2}b$

  $\therefore \frac{ak}{15-2k^2}\times \frac{bk}{15-2k^2}=-1$$\therefore~ \cfrac {ak}{15-2k^2} \times \cfrac {bk}{15-2k^2}=-1$

  어랏...$ab$$ab$를 구해야한다...

• $a^2-2a(a+k)+2(a+k{)}^2=b^2-2b(b+k)+2(b+k{)}^2=15$$a^2 -2a(a+k)+2(a+k)^2 =b^2 -2b(b+k)+2(b+k)^2=15$를 이용하자.

  정리하면, $(a-b)(a+b+2k)$$(a-b)(a+b+2k)$=0

  그런데, $a=b$$a=b$이면 접선이 수직일 리가 없으니까...

  $a+b+2k=0$$a+b+2k=0$이다.

  $b=-a-2k$$b=-a-2k$를 대입하면,

  $ab=a(-a-2k)=-a(a+2k)=2k^2-15$$ab=a(-a-2k)=-a(a+2k)=2k^2-15$

마지막 계산을 하자!

$\frac{(2k^2-15)k^2}{(15-2k^2{)}^2}=-\frac{k^2}{15-2k^2}=-1$$\cfrac {(2k^2 -15)k^2}{(15-2k^2)^2}=-\cfrac {k^2}{15-2k^2}=-1$

$k^2=15-2k^2$$k^2 =15-2k^2$

$\therefore k^2=5$$\therefore~ k^2 =5$