2023년 05월 미적분 29번

29. 그림과 같이 중심이 $O$$O$, 반지름의 길이가 $8$$8$이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi }{2}$$\cfrac{\pi}2$인 부채꼴 $OAB$$OAB$가 있다. 호 $AB$$AB$ 위의 점 $C$$C$에 대하여 점 $B$$B$에서 선분 $OC$$OC$에 내린 수선의 발을 $D$$D$라 하고, 두 선분 $BD,CD$$BD,~CD$와 호 $BC$$BC$에 동시에 접하는 원을 $C$$C$라 하자. 점 $O$$O$에서 원 $C$$C$에 그은 접선 중 점 $C$$C$를 지나지 않는 직선이 호 $AB$$AB$와 만나는 점을 $E$$E$라 할 때, $\cos (\mathrm{\angle }COE)=\frac{7}{25}$$\cos (\angle COE)=\cfrac 7{25}$이다. $\sin (\mathrm{\angle }AOE)=p+q\sqrt{7}$$\sin (\angle AOE)=p+q\sqrt 7$일 때, $200\times (p+q)$$200\times (p+q)$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$ 와 $q$$q$는 유리수이고, 점 $C$$C$는 점 $B$$B$가 아니다.)

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i. 정리

• 당연히 그릴만한 점과 선분을 긋도록 하자.

  

  내접원의 중심을 $F$$F$, 각각의 접점을 $G,H,I$$G,~H,~I$라 하자.

  우선 알아낸 사실들을 정리하면,

  • $\overline{OG}=\overline{GC}=4$$\overline{OG}=\overline{GC}=4$ (부채꼴의 반지름)

  • 사각형 $HDGF$$HDGF$는 정사각형이고 길이는 내접한 원의 반지름인 $r$$r$이라 하자.

  • $\mathrm{\angle }EOI=\mathrm{\angle }IOC=2\mathrm{\angle }COE$$\angle EOI=\angle IOC=2\angle COE$

    어랏? 구할 수 있는 거다!

  • 느낌상.... $\mathrm{\angle }BOD=\mathrm{\angle }EOA$$\angle BOD=\angle EOA$이면 좋겠는데?

    $\mathrm{△}BOD$$\triangle BOD$는 $\mathrm{\angle }BDO$$\angle BDO$가 직각인 직각삼각형이다.

    $\mathrm{\angle }BOE+\mathrm{\angle }EOC+\mathrm{\angle }OBD=\frac{\pi }{2}$$\angle BOE+\angle EOC+\angle OBD=\cfrac {\pi}2$

    어?

    $\mathrm{\angle }BOE+\mathrm{\angle }EOC+\mathrm{\angle }COA=\frac{\pi }{2}$$\angle BOE+\angle EOC+\angle COA=\cfrac {\pi}2$

    $\therefore \mathrm{\angle }OBD=\mathrm{\angle }COA$$\therefore~ \angle OBD=\angle COA$

    에이...모르네...

ii. 계산

• 앞이 보이지 않으니 할 수 있는 계산부터 하자.

  $\cos (\mathrm{\angle }COE)=\cos (2\mathrm{\angle }FOG)$$\cos (\angle COE)=\cos (2\angle FOG)$

  이를 이용하여 $\cos \mathrm{\angle }FOG$$\cos \angle FOG$를 구하면, (당연히 계산 생략)

  $\therefore \cos \mathrm{\angle }FOG=\frac{4}{5}$$\therefore~ \cos \angle FOG=\cfrac 45$

  어랏? $3,4,5$$3,~4,~5$인 삼각형이네~

  편의상 $\overline{OF}=5a,\overline{OG}=4a,\overline{FG}=3a$$\overline{ OF}=5a,~\overline{ OG}=4a,~\overline{ FG}=3a$라 하자.

  어랏?

  $\overline{OI}=\overline{OF}+\overline{FI}=8$$\overline{OI}=\overline{OF}+\overline{FI}=8$

  $5a+3a=8⟶a=1$$5a+3a=8\quad \longrightarrow \quad a=1$

   

  내접원의 반지름의 길이는 $3$$3$이고 이를 이용하여 또 길이를 한번 다 구하면,

  $\overline{OD}=1,\overline{DG}=3$$\overline{ OD}=1,~\overline{ DG}=3$

• 뭐 대충 한 거 같으니..뭘 구해야 하지?

  $\sin \mathrm{\angle }AOE$$\sin \angle AOE$

  어랏?

  $\mathrm{\angle }AOE=\mathrm{\angle }COE+\mathrm{\angle }COA=\mathrm{\angle }COE+\mathrm{\angle }OBD$$\angle AOE=\angle COE+\angle COA=\angle COE+\angle OBD$

  $\therefore \sin \mathrm{\angle }AOE=\sin (\mathrm{\angle }COE+\mathrm{\angle }OBD)$$\therefore~ \sin \angle AOE=\sin (\angle COE+\angle OBD)$

풀었다!!

• $\cos \mathrm{\angle }COE=\frac{7}{25}$$\cos \angle COE=\cfrac 7{25}$에서 $\sin \mathrm{\angle }COE=\frac{24}{25}$$\sin \angle COE=\cfrac {24}{25}$

• $\mathrm{△}BOD$$\triangle BOD$에서 $\sin \mathrm{\angle }OBD=\frac{8}{1},\cos \mathrm{\angle }OBD=\frac{3\sqrt{7}}{8}$$\sin \angle OBD=\cfrac 81,~\cos \angle OBD=\cfrac {3\sqrt 7}8$

$\therefore \sin \mathrm{\angle }AOE=\frac{7}{8\cdot 25}+\frac{3\sqrt{7}\cdot 24}{8\cdot 25}$$\therefore~ \sin \angle AOE=\cfrac 7{8\cdot 25} +\cfrac {3\sqrt7 \cdot 24}{8\cdot 25}$

$\therefore 200(p+q)=79$$\therefore~ 200(p+q)=79$