2023년 03월 미적분 30번

30. 함수 $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$$f(x)=\lim\limits_{n\to \infty}\cfrac{x^{2n+1}-x}{x^{2n}+1}$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$2k-2\le |x|<2k$$2k-2\le |x|<2k$일 때,

$g(x)=(2k-1)\times f(\frac{x}{2k-1})$$g(x)=(2k-1)\times f\big(\cfrac x{2k-1}\big)$이다. (단, $k$$k$는 자연수이다.)

$0<t<10$$0<t<10$인 실수 $t$$t$에 대하여 직선 $y=t$$y=t$가 함수 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프와 만나지 않도록 하는 모든 $t$$t$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $f(x)$$f(x)$부터 구해야 겠다.

  $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& (|x|<1)\\ x& (|x|>1)\\ 0& (|x|=1)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases}-x&(|x|<1)\\ x&(|x|>1)\\ 0 &(|x|=1) \end{cases}$

  

• 조건이 규칙이 있어 보인다?

ii. 풀자

뭐 한눈에 보이면...부럽지....

• $k=1$$k=1$일 때,

  $0\le |x|<2$$0\le |x|<2$

  $g(x)=f(x)$$g(x)=f(x)$

  뭐....딱히...

• $k=2$$k=2$일 때,

  $2\le |x|<4$$2\le |x|<4$

  $g(x)=3f(\frac{x}{3})$$g(x)=3 f(\cfrac x3)$

  어? $\frac{2}{3}\le |\frac{x}{3}|<\frac{4}{3}$$\cfrac 23\le |\cfrac x3|<\cfrac 43$

  그려볼만 한데?

  

무언가 규칙이 보이는 거 같다? 규칙에 집중하여 다음을 생각하자.

• $k=3$$k=3$일 때,

  $4\le |x|<6$$4\le |x|<6$

  $g(x)=5\times f(\frac{x}{5})$$g(x)=5\times f(\cfrac x5)$

  $|x|=5$$|x|=5$일 때, $f(x)=0$$f(x)=0$

  $|\frac{x}{5}|<1$$|\cfrac x5|<1$ 일 때에는 $-x$$-x$

  $|\frac{x}{5}|>1$$|\cfrac x5 |>1$일 때에는 $x$$x$

  $(4,-4),(-4,4)$$(4,~-4),~(-4,~4)$일 때, 포함 ($\because$$\because ~$계산해봐)

대충...감이 온다...

반복적으로 그려진다!!!!

양의 방향으로 구간의 크기가 $1$$1$인 영역을 기준을 아래 위 아래 위 아래 위~~~

그럼 다 구했네...

$0<t<10$$0<t<10$에서 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프와 만나지 않는 $y=t$$y=t$의 값은 $2m+1$$2m+1$의 자연수 (단, $m$$m$은 정수)

$\therefore 1+3+5+7+9=25$$\therefore~ 1+3+5+7+9=25$

뭐야 이건.....

등급컷을 보자...