2023학년도 11월 미적분 29번

29. 세 상ㅇ수 $a,b,c$$a,~b,~c$에 대하여 함수 $f(x)=a{e}^{2x}+b{e}^x+c$$f(x)=ae^{2x}+be^x+c$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)+6}{e^x}=1$$\lim\limits_{x\to -\infty} \cfrac {f(x)+6}{e^x}=1$

(나) $f(\ln 2)=0$$f(\ln 2)=0$

함수 $f(x)$$f(x)$의 역함수를 $g(x)$$g(x)$라 할 때, $\begin{array}{r}{\int }_0^{14}g(x)dx=p+q\ln 2\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{14} g(x)dx =p+q\ln 2\end{aligned}$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$$p,~q$는 유리수이고, $\ln 2$$\ln 2$는 무리수이다.)

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i. 생각

• 주어진 식의 극한이 존재하고, 분모가 $0$$0$으로 수렴하므로 분자도 $0$$0$으로 수렴해야한다.

  $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(a{e}^{2x}+b{e}^x+c+6)=0$$\lim\limits_{ x\to -\infty} (ae^{2x}+be^x+c+6)=0$

  $\therefore c=-6$$\therefore~ c=-6$

• 극한값을 계산하자.

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)+6}{e^x}& =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{e}^{2x}+b{e}^x}{e^x}\\ & =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}a{e}^x+b\\ & =b=1\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to -\infty} \cfrac {f(x)+6}{e^x}&=\lim\limits_{x\to -\infty} \cfrac{ae^{2x}+be^x}{e^{x}}\\ &=\lim\limits_{x\to -\infty} ae^x+b\\ &= b=1\end{aligned}$

• $f(\ln 2)=0$$f(\ln 2)=0$을 이용하자.

  $f(\ln 2)=4a+2-6=0$$f(\ln 2)=4a+2-6=0$

  $\therefore a=1$$\therefore~ a=1$

$\therefore f(x)=e^{2x}+e^x-6$$\therefore~ f(x)=e^{2x}+e^x-6$

얼래?

ii. 계산하자.

• $g(x)=f^{-1}(x)$$g(x)=f^{-1}(x)$

• $\begin{array}{r}{\int }_0^{14}g(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{14} g(x)dx \end{aligned}$ 를 생각하자.

  역함수를 이용하는 것일테고....

  $g\circ f(x)=x$$g\circ f(x)=x$

  어? $x=f(t)$$x=f(t)$로 치환하자!!!

  그럼 적분구간은 $\ln 2$$\ln 2$ 부터 $\ln 4$$\ln 4$까지! (계산 생략!!)

  $dx=f^{\prime }(t)dt$$dx=f'(t)dt$

• 치환적분하자!

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^{14}g(x)dx& ={\int }_{\ln 2}^{\ln 4}g(f(t))f^{\prime }(t)dt\\ \\ & ={\int }_{\ln 2}^{\ln 4}t{f}^{\prime }(t)dt\\ \\ & ={\int }_{\ln 2}^{\ln 4}x(2e^{2x}+e^x)dx\\ \\ & =34\ln 2-8\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^{14}g(x)dx &=\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(f(t))f'(t)dt \\ \\ &=\int_{\ln 2} ^{\ln 4}tf'(t)dt\\ \\&=\int_{\ln 2}^{\ln 4} x(2e^{2x}+e^x)dx\\ \\&=34\ln 2 -8 \end{aligned}$

  (계산생략!!)

$\therefore 34-8=26$$\therefore~ 34-8=26$