2023학년도 11월 미적분 30번

30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$$g(x)=e^{\sin \pi x}-1$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 $h(x)=g(f(x))$$h(x)=g(f(x))$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $h(x)$$h(x)$는 $x=0$$x=0$에서 극댓값 $0$$0$을 갖는다.

(나) 열린구간 $(0,3)$$(0,~3)$에서 방정식 $h(x)=1$$h(x)=1$의 서로 다른 실근의 개수는 $7$$7$이다.

$f(3)=\frac{1}{2},f^{\prime }(3)=0$$f(3)=\cfrac 12,~f'(3)=0$일 때, $f(2)=\frac{q}{p}$$f(2)=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• $h^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)$$h'(x)=g'(f(x))f'(x)$

  극값을 생각하면,

  $g^{\prime }(f(x))=0$$g'(f(x))=0$ 또는 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$을 만족시켜야 한다.

• $g^{\prime }(x)$$g'(x)$를 생각해보자.

  $g^{\prime }(x)=e^{\sin \pi x}\times \cos \pi x\cdot \pi$$g'(x)=e^{\sin \pi x } \times \cos \pi x \cdot \pi$

  $x=2k+1$$x=2k+1\quad$(단, $k$$k$는 정수)

  뭐 그냥 편의상 $f(x)=$$f(x)=$홀수라 하자.

  정리하면 극값은 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$이거나 $f(x)=$$f(x)=$홀수이면 된다.

• $h(0)=0$$h(0)=0$을 이용하자.

  $h(0)=g(f(0))=0$$h(0)=g(f(0))=0$

  $f(x)=2m$$f(x)=2m\quad$(단, $m$$m$은 정수)

  편의상 $f(0)=$$f(0)=$짝수라 하자.

지금까지 살펴본 바로는 $f^{\prime }(0)=0$$f'(0)=0$이고, $f(0)=$$f(0)=$짝수이다.

뭐 엄밀하게는 극대인지 극소인지 살펴도 봐야하는데...뭐 필요하면 나중에 하면 되겠지...?

ii. 풀자

어?

• $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(3)=0$$f'(0)=f'(3)=0$

  $f^{\prime }(x)=3ax(x-3)$$f'(x)=3ax(x-3)$

  다, 단순하잖아?

  • $x=0$$x=0$에서 극대
  • $x=3$$x=3$에서 극소

• 합성함수를 생각하자.

  $f(0)=\alpha$$f(0)=\alpha$라 하면, $h(x)$$h(x)$의 정의역이 $[0,3]$$[0,~3]$일 때,

  $f(x)$$f(x)$의 치역은 $[\frac{1}{2},\alpha ]$$\big[\cfrac 12 ,~\alpha\big]$임을 알 수 있다.

  즉, 닫힌구간 $[\frac{1}{2},\alpha ]$$\big[\cfrac 12 ,~\alpha\big]$에서 $g(x)=1$$g(x)=1$의 서로 다른 근의 개수가 $7$$7$개이면 된다.

  $g(\frac{1}{2})=e-1>1$$g(\frac 12)=e-1>1$ 이고 $g(x)$$g(x)$는 주기가 $2$$2$인 주기함수이다.

  

  $\alpha =7,8$$\alpha =7,~8$이 가능하다. 그런데 앞선 조건에서 $f(0)$$f(0)$의 값은 짝수이므로

  $\therefore f(0)=8$$\therefore~ f(0)=8$

iii. 계산

$f^{\prime }(x)=3ax(x-3)=3a{x}^2-9ax$$f'(x)=3ax(x-3)=3ax^2 -9ax$

$f(x)=a{x}^3-\frac{9}{2}a{x}^2+\alpha =a{x}^3-\frac{9}{2}a{x}^2+8$$f(x)=ax^3 -\cfrac 92 ax^2 +\alpha =ax^3 -\cfrac 92 ax^2 +8$

$f(3)=\frac{1}{2}$$f(3)=\cfrac 12$를 이용하면,

$a=\frac{5}{9}$$a=\cfrac 59$

$\therefore f(x)=\frac{5}{9}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+8$$\therefore~ f(x)=\cfrac 59x^3 -\cfrac 52x ^2+8$

$\therefore f(2)=\frac{22}{9}$$\therefore~ f(2)=\cfrac {22}9$

$\therefore p+q=31$$\therefore~ p+q=31$