2022년 10월 미적분 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$$g(x)=\ln \{f(x)+f^{\prime }(x)+1\}$$

이 있다. 상수 $a$$a$와 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $g(x)>0$$g(x)>0$이고 $\begin{array}{r}{\int }_{2a}^{3a+x}g(t)dt={\int }_{3a-x}^{2a+2}g(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_{2a}^{3a+x} g(t)dt=\int_{3a-x}^{2a+2}g(t)dt\end{aligned}$이다.

(나) $g(4)=\ln 5$$g(4)=\ln 5$

$\begin{array}{r}{\int }_3^5\{f^{\prime }(x)+2a\}g(x)dx=m+n\ln 2\end{array}$$\begin{aligned} \int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx =m+n\ln 2\end{aligned}$일 때, $m+n$$m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,n$$m,~n$은 정수이고, $\ln 2$$\ln2$는 무리수이다.)

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i. 생각

• $g(4)=\ln 5$$g(4)=\ln 5$

  $f(4)+f^{\prime }(4)+1=5⟶f(4)+f^{\prime }(4)=4$$f(4)+f'(4)+1=5\quad \longrightarrow \quad f(4)+f'(4)=4$

• 조건식에서 $x=-a$$x=-a$를 대입해보자.

  $\begin{array}{rl}{\int }_{2a}^{2a}g(t)dt& ={\int }_{4a}^{2a+2}g(t)dt\\ 0& ={\int }_{4a}^{2a+2}g(t)dt\end{array}$$\begin{aligned}\int_{2a}^{2a} g(t)dt &=\int_{4a}^{2a+2}g(t)dt \\ 0&=\int_{4a}^{2a+2}g(t)dt\end{aligned}$

  어? 그런데, $g(x)>0$$g(x)>0$이니까!!!!

  $2a+2=4a$$2a+2=4a$

  $\therefore a=1$$\therefore~ a=1$

• 이제 또 할 수 있는 것은?

  주어진 적분 식을 미분해보는 것이다!

  $g(3a+x)=g(3a-x)$$g(3a+x)=g(3a-x)$

  어랏?

  $g(3+x)=g(3-x)$$g(3+x)=g(3-x)$

  $y=g(x)$$y=g(x)$는 $x=3$$x=3$에 대해서 대칭인 함수이다.

  그렇다면?

  $y=f(x)+f^{\prime }(x)+1$$y=f(x)+f'(x)+1$가 $x=3$$x=3$에 대해서 대칭일 수 밖에 없다!

그냥 조건 정리하다 풀리겠는데???

• $f(x)+f^{\prime }(x)+1=(x-3{)}^2+\alpha$$f(x)+f'(x)+1=(x-3)^2 +\alpha$라 하면

  $f(4)+f^{\prime }(4)+1=5$$f(4)+f'(4)+1=5$를 이용하면,

  $5=1+\alpha$$5=1+\alpha$

  $\therefore \alpha =4$$\therefore~ \alpha =4$

  $f(x)+f^{\prime }(x)+1=(x-3{)}^2+4$$f(x)+f'(x)+1=(x-3)^2+4$

조금 계산해야하네.

ii. $f(x)$$f(x)$를 구하면 문제가 풀리겠다?

• $f(x)$$f(x)$를 구하자.

  $f(x)=x^2+\alpha x+\beta$$f(x)=x^2 +\alpha x+\beta$라 하면,

  $\begin{array}{rl}f(x)+f^{\prime }(x)+1& =x^2-6x+13\\ & =x^2+(\alpha +2)x+\alpha +\beta \end{array}$$\begin{aligned} f(x)+f'(x)+1&=x^2 -6x +13\\ &=x^2 +(\alpha +2)x +\alpha +\beta\end{aligned}$

  $\therefore \alpha =-8,\beta =21$$\therefore~ \alpha =-8,~\beta =21$

• 계산하자.

  $\begin{array}{}\end{array}$$\begin{aligned} \end{aligned}$$\begin{array}{rl}{\int }_3^5\{f^{\prime }(x)+2a\}g(x)dx& ={\int }_3^5\{2x-6\}\ln (x^2-6x+13)dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx &=\int_3^5 \{2x-6\}\ln (x^2-6x+13)dx \end{aligned}$

  그냥 치환적분이네.

  계산생략...

  $\begin{array}{rl}{\int }_3^5\{f^{\prime }(x)+2a\}g(x)dx& ={\int }_4^8\ln tdt\\ & =[t\ln t-t{]}_4^8\\ & =16\ln 2-4\end{array}$$\begin{aligned}\int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx &=\int_4^8 \ln t dt \\ &=\Big[t\ln t -t\Big]_4^8 \\ &= 16\ln 2-4 \end{aligned}$

$\therefore m+n=16-4=12$$\therefore~ m+n=16-4=12$