2022년 10월 미적분 29번

29. 그림과 같이 길이가 $2$$2$인 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $AB$$AB$의 중점을 $O$$O$라 하고 호 $AB$$AB$ 위의 두 점 $P,Q$$P,~Q$를

$$\mathrm{\angle }BOP=\theta ,\mathrm{\angle }BOQ=2\theta$$

가 되도록 잡는다. 점 $Q$$Q$를 지나고 선분 $AB$$AB$에 평행한 직선이 호 $AB$$AB$와 만나는 점 중 $Q$$Q$가 아닌 점을 $R$$R$라 하고, 선분 $BR$$BR$가 두 선분 $OP,OQ$$OP,~OQ$와 만나는 점을 각각 $S,T$$S,~T$라 하자.

세 선분 $AO,OT,TR$$AO,~OT,~TR$와 호 $RA$$RA$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta )$$f(\theta)$라 하고, 세 선분 $QT,TS,SP$$QT,~TS,~SP$와 호 $PQ$$PQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta )$$g(\theta)$라 하자. $\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{f(\theta )}=a$$\lim\limits_{\theta \to 0+}\cfrac {g(\theta)}{f(\theta)}=a$일 때, $80a$$80a$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{4}$$0<\theta <\cfrac {\pi}4$)

---

i. 생각

• 넓이를 구하기 위해서 보조선을 그어보자. (뭐 항상 그렇듯 항상 보조선은 뜬금없는 것이 아니라 그어볼만한 이유가 있는 것으로만 문제가 나온다. 반지름이라던가 평행, 원주각 등등)

  

  $\mathrm{△}ORT$$\triangle ORT$의 넓이를 $\alpha$$\alpha$, $\mathrm{△}OTS$$\triangle OTS$의 넓이를 $\beta$$\beta$라 하자. 그러면

  • $f(\theta )=$$f(\theta)=$부채꼴 $ORA+\alpha$$ORA+\alpha$
  • $g(\theta )=$$g(\theta)=$부채꼴 $OPQ$$OPQ$$-\beta$$-\beta$

ii. 계산

이제 조건에 따라 표현가능한 각도 밑 길이를 구하도록 하자.

• $\mathrm{\angle }QOB=2\theta ⟶\mathrm{\angle }OQR=2\theta ⟶\mathrm{\angle }ORQ=2\theta (\because \mathrm{△}ORQ$$\angle QOB=2\theta\quad \longrightarrow \quad \angle OQR=2\theta\quad \longrightarrow \quad \angle ORQ=2\theta\quad (\because~\triangle ORQ$ 이등변삼각형)

  $\mathrm{\angle }ROA=2\theta (\because \overline{RQ}//\overline{AB})$$\angle ROA=2\theta\quad (\because \overline{RQ}\mathrel {/\!/} \overline{AB})$

  $\mathrm{△}ORB$$\triangle ORB$에서 $\mathrm{\angle }ORB=\mathrm{\angle }OBR$$\angle ORB=\angle OBR$

  $\mathrm{\angle }ORB+\mathrm{\angle }OBR=\mathrm{\angle }ROA=2\theta$$\angle ORB+\angle OBR=\angle ROA=2\theta$

  $\therefore \mathrm{\angle }ORB=\mathrm{\angle }OBR=\theta$$\therefore~ \angle ORB=\angle OBR=\theta$

  어? $\mathrm{\angle }BRQ=\theta$$\angle BRQ=\theta$

  $\alpha$$\alpha$를 구할 수 있겠다!

  $\overline{RQ}=2\cos 2\theta$$\overline{RQ}=2\cos 2\theta$

  $\begin{array}{rl}\alpha & =\mathrm{△}ORQ\times \frac{1}{1+2\cos 2\theta }(\because \overline{RO}:\overline{RQ}=\overline{OT}:\overline{TQ})\\ & =\frac{1}{2}\times 1\cdot 2\cos 2\theta \cdot \sin 2\theta \times \frac{1}{1+2\cos 2\theta }\\ & =\frac{\sin 4\theta }{2+4\cos 2\theta }\end{array}$$\begin{aligned} \alpha &=\triangle ORQ \times \cfrac 1{1+2\cos 2\theta}\quad (\because~\overline{RO}:\overline{RQ}=\overline{OT}:\overline{TQ})\\ &=\cfrac 12 \times 1\cdot 2\cos 2\theta\cdot \sin 2\theta \times \cfrac 1{1+2\cos 2\theta}\\ &=\cfrac {\sin 4\theta}{2+4\cos 2\theta}\end{aligned}$

  $\begin{array}{rl}\therefore f(\theta )& =\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot 2\theta +\frac{\sin 4\theta }{2+4\cos 2\theta }\\ & =\theta +\frac{\sin 4\theta }{2+4\cos 2\theta }\end{array}$$\begin{aligned} \therefore~ f(\theta)&=\cfrac 12 \cdot 1^2\cdot 2\theta +\cfrac {\sin 4\theta}{2+4\cos 2\theta}\\ &= \theta +\cfrac{\sin 4\theta}{2+4\cos 2\theta}\end{aligned}$

• $\beta$$\beta$를 구하자.

  $\mathrm{△}SOB$$\triangle SOB$는 이등변삼각형이다. ($\because \mathrm{\angle }SOB=\mathrm{\angle }SBO=\theta$$\because~\angle SOB=\angle SBO=\theta$)

  $\overline{OS}\cos \theta =\frac{1}{2}$$\overline{OS}\cos \theta =\cfrac 12$

  $\therefore \overline{OS}=\frac{1}{2\cos \theta }$$\therefore~ \overline{OS}=\cfrac 1{2\cos\theta}$

  $\overline{OT}=1\times \frac{1}{1+2\cos 2\theta }$$\overline{OT}=1\times \cfrac 1{1+2\cos 2\theta}$

  $\therefore \beta =\frac{1}{2}\cdot \overline{OT}\cdot \overline{OS}\cdot \sin \theta =\frac{1}{4}\cdot \tan \theta \cdot \frac{1}{1+2\cos 2\theta }$$\therefore~ \beta=\cfrac 12 \cdot \overline{OT} \cdot \overline{OS}\cdot \sin \theta=\cfrac 14 \cdot \tan\theta \cdot \cfrac 1{1+2\cos 2\theta}$

  $\begin{array}{rl}g(\theta )& =\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot \theta -\beta \\ & =\frac{\theta }{2}-\frac{\tan \theta }{4}\cdot \frac{1}{1+2\cos 2\theta }\end{array}$$\begin{aligned}g(\theta)&=\cfrac 12 \cdot 1^2 \cdot \theta -\beta\\ &=\cfrac {\theta}2-\cfrac {\tan\theta}4\cdot\cfrac 1{1+2\cos 2\theta} \end{aligned}$

iii. 계산 또 계산.

$\begin{array}{rl}\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{f(\theta )}& =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{\frac{\theta }{2}-\frac{\tan \theta }{4}\cdot \frac{1}{1+2\cos 2\theta }}{\theta +\frac{\sin 4\theta }{2+4\cos 2\theta }}\\ & =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}{1+\frac{4}{6}}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{\theta\to 0+} \cfrac {g(\theta)}{f(\theta)}&=\lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {\cfrac {\theta}2-\cfrac{\tan\theta}4 \cdot \cfrac 1{1+2\cos 2\theta}}{\theta+\cfrac{\sin 4\theta}{2+4\cos 2\theta}}\\ &=\lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {\cfrac 12-\cfrac 14\cdot \cfrac 13}{1+\cfrac 4{6}}\\ &=\cfrac 14\end{aligned}$

$\therefore 80a=20$$\therefore~ 80a=20$