2023학년도 09월 미적분 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 사차함수 $f(x)$$f(x)$와 구간 $(0,\mathrm{\infty })$$(0,~\infty)$에서 $g(x)\ge 0$$g(x)\ge 0$인 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x\le -3$$x\le -3$인 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)\ge f(-3)$$f(x)\ge f(-3)$이다.

(나) $x>-3$$x>-3$인 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $g(x+3)\{f(x)-f(0){\}}^2=f^{\prime }(x)$$g(x+3)\{f(x)-f(0)\}^2=f'(x)$이다.

$\begin{array}{r}{\int }_4^{5}g(x)dx=\frac{q}{p}\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^5 g(x)dx=\cfrac qp\end{aligned}$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

---

i. 생각

• $x=0$$x=0$을 대입하면,

  $g(3)\times 0=f^{\prime }(0)$$g(3)\times 0=f'(0)$

  $\therefore f^{\prime }(0)=0$$\therefore~ f'(0)=0$

• $g(x+3)=\frac{f^{\prime }(x)}{\{f(x)-f(0){\}}^2}$$g(x+3)=\cfrac {f'(x)}{\{f(x)-f(0)\}^2}$이라 하면,

  어? $x=0$$x=0$을 대입할 수가 없네?

  어랏? 이거 극한값도 구할 수가 없네? 뭐지????

  조건을 보자.....

  $g(x+3)\{f(x)-f(0){\}}^2=f^{\prime }(x)$$g(x+3)\{f(x)-f(0)\}^2=f'(x)$를 살펴보니....

  $x>-3$$x>-3$일 때, $g(x)\ge 0$$g(x)\ge 0$이니까 $g(x+3)\ge 0$$g(x+3)\ge 0$이다?

  $\{f(x)-f(0){\}}^2\ge 0$$\{f(x)-f(0)\}^2\ge 0$이네?

  어? 그러면?

  $x>-3$$x>-3$일 때, $f^{\prime }(x)\ge 0$$f'(x)\ge 0$이어야 한다.

  어? 그런데 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$는 삼차함수이다.

  이거구나...조건 (가)와 연결시키면,

  $f^{\prime }(x)=4x^2(x+3)$$f'(x)=4x^2 (x+3)$이다.

ii. 계산

$f^{\prime }(x)=4x^3+12x^2⟶f(x)=x^4+4x^3+C$$f'(x)=4x^3 +12x^2\quad \longrightarrow \quad f(x)=x^4+4x^3+C$

오호.....와......쩐다....

$f(x)-f(0)=x^4+4x^3$$f(x)-f(0)=x^4+4x^3$

$g(x+3)=\frac{f^{\prime }(x)}{\{f(x)-f(0){\}}^2}$$g(x+3)=\cfrac {f'(x)}{\{f(x)-f(0)\}^2}$를 잘 적분하면 될 거 같다?

$\begin{array}{r}\int g(x+3)=\int \frac{f^{\prime }(x)}{\{f(x)-f(0){\}}^2}\end{array}$$\begin{aligned}\int g(x+3)=\int\cfrac {f'(x)}{\{f(x)-f(0)\}^2} \end{aligned}$

적분구간을 잘 잡아보자.

$\begin{array}{rl}{\int }_4^{5}g(x)dx& ={\int }_1^{2}g(x+3)dx\\ \\ & ={\int }_1^2\frac{f^{\prime }(x)}{\{f(x)-f(0){\}}^2}dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^5 g(x)dx &=\int_1^2 g(x+3)dx \\ \\ &=\int_1^2 \cfrac {f'(x)}{\{f(x)-f(0)\}^2}dx \end{aligned}$

치환하면 되겠네.

$f(x)-f(0)=u$$f(x)-f(0)=u$라 하면, $f^{\prime }(x)dx=du$$f'(x)dx =du$이고 적분구간은 $5\sim 48$$5\sim 48$

$\begin{array}{rl}{\int }_5^{48}{u}^{-2}du& =[-\frac{1}{u}{]}_5^{48}\\ \\ & =\frac{43}{240}\end{array}$$\begin{aligned}\int_5^{48} u^{-2} du &=\Big[-\cfrac 1u\Big]_5^{48} \\ \\ &=\cfrac {43}{240}\end{aligned}$

$\therefore p+q=283$$\therefore~ p+q=283$