2023년 07월 미적분 29번

29. 함수 $f(x)$$f(x)$는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x<1$$x<1$일 때, $f^{\prime }(x)=-2x+4$$f'(x)=-2x+4$이다.

(나) $x\ge 0$$x\ge 0$인 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x^2+1)=a{e}^{2x}+bx$$f(x^2 +1)=ae^{2x}+bx$이다. (단, $a,b$$a,~b$는 상수이다.)

$\begin{array}{r}{\int }_0^{5}f(x)dx=p{e}^4-q\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^5 f(x)dx =pe^4 -q\end{aligned}$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$$p,~q$는 유리수이다.)

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i. 생각

• 주어진 조건을 보니.. $0\le x<1$$0\le x<1$일 때가 겹친다! 바로 쓰자!

  $2x\cdot f^{\prime }(x^2+1)=2a{e}^{2x}+b$$2x\cdot f'(x^2 +1)=2ae^{2x} +b$

  $f^{\prime }(x^2+1)=\frac{2a{e}^{2x}+b}{2x}$$f'(x^2 +1)=\cfrac {2ae^{2x}+b}{2x}$

  $x=1$$x=1$에서 연속이므로,

  $f^{\prime }(1)=2$$f'(1)=2$를 만족시켜야 한다.

  $\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x^2+1)$$\lim\limits_{x\to 0} f'(x^2+1)$을 계산하면, (편하게 로피탈을 쓰자~)

  • 분모가 $0$$0$이 되니까 분자도 $0$$0$이되어야 극한값이 존재한다.

    $2a+b=0$$2a+b=0$

    $\therefore b=-2a$$\therefore~ b=-2a$

  • 이제 극한값을 구하자.

    $f^{\prime }(1)=\frac{4a}{2}=2a=2$$f'(1)=\cfrac {4a}2 =2a=2$

    $\therefore a=1$$\therefore~ a=1$

  $\therefore f(x^2+1)=e^{2x}-2x(x\ge 0)$$\therefore~ f(x^2+1)=e^{2x}-2x\quad (x\ge 0)$

• 어? 도함수가 연속이니까 함수는 당연히 연속인가..? 이거 나만 이상하게 느끼나...뭐 문제를 풀려면 함수는 당연히 연속으로 접근해야하니까...;;;(그냥 미분가능이라고 말하는 게 더 명확한 거 아닌가..?)

  $f(x)=-x^2+4x+C(x<1)$$f(x)=-x^2 +4x+C\quad (x<1)$

  $x=1$$x=1$에서 연속이어야 한다...

  $f(1)=-1+4+C=1$$f(1)=-1+4+C=1$

  $\therefore f(x)=-x^2+4x-2$$\therefore~ f(x)=-x^2 +4x-2$

ii. 계산

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{5}f(x)dx& ={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{5}f(x)dx\\ & ={\int }_0^1(-x^2+4x-2)dx+{\int }_1^{5}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^5f(x)dx &= \int_0^1 f(x)dx +\int_1^5f(x)dx\\ &= \int_0^1 (-x^2 +4x-2)dx +\int_1^5 f(x)dx \end{aligned}$

$x^2+1=t$$x^2 +1=t$라고 치환하면, $x:0\to 2$$x:0\to 2$일 때, $t:1\to 5$$t:1\to 5$이고 $2xdx=dt$$2xdx =dt$

$\begin{array}{rl}{\int }_1^{5}f(t)dt& ={\int }_0^{2}f(x^2+1)2xdx\end{array}$$\begin{aligned}\int_1^5f(t)dt &= \int_0^2 f(x^2 +1)2xdx \end{aligned}$

계산 생략...

$\therefore \begin{array}{r}{\int }_0^{5}f(x)dx=\frac{3}{2}{e}^4-\frac{21}{2}\end{array}$$\therefore~ \begin{aligned} \int_0^5 f(x)dx =\cfrac 32e^4 -\cfrac {21}2\end{aligned}$

$\therefore \frac{3}{2}+\frac{21}{2}=12$$\therefore~ \cfrac 32 +\cfrac {21}2=12$