2024학년도 11월 미적분 30번

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$가 $f^{\prime }(x)=|\sin x|\cos x$$f'(x)=|\sin x |\cos x$이다. 양수 $a$$a$에 대하여 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$$(a,~f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$$y=g(x)$라 하자. 함수 $\begin{array}{rl}h(x)& ={\int }_0^x\{f(t)-g(t)\}dt\end{array}$$\begin{aligned} h(x)&=\int_0^x \{f(t)-g(t)\}dt\end{aligned}$가 $x=a$$x=a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$$a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$$n$번째 수를 $a_n$$a_n$이라 하자. $\frac{100}{\pi }\times (a_6-a_2)$$\cfrac{100}{\pi}\times (a_6-a_2)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

$\begin{array}{c}\circ f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}\sin 2x& (-\pi <x<0)\\ \frac{1}{2}\sin 2x& (0\le x<\pi )\end{array}\end{array}$$\circ ~f'(x)=\begin{cases} -\cfrac 12 \sin 2x &(-\pi<x<0) \\ \cfrac 12 \sin 2x &(0\le x<\pi)\end{cases}$

당연히 그래프 개형을 그러놓는 게 문제를 풀기에 쉽겠지?

• 극값이 되는 경우를 찾아보자.

  • $h^{\prime }(x)=f(x)-g(x)=0$$h'(x)=f(x)-g(x)=0$

    어? 아...$y=g(x)$$y=g(x)$는 $(a,f(a))$$(a,~f(a))$에서의 접선이구나

    그럼 대충 $f(x)$$f(x)$의 개형을 생각해보자. 우선은 문제의 이해를 돕기위해 $f(x)$$f(x)$의 적분상수는 $0$$0$으로 두고 생각하자.

    

    어? 임의의 점에서 접선을 생각하면, 경우에 따라 접선인 $y=g(x)$$y=g(x)$와 한 점에서만 만나거나, 두 점에서 만나는 경우가 생긴다.

    

    같은 경우를 생각할 수 있다.

    두 경우 $f(x)=g(x)$$f(x)=g(x)$가 되지만, $x=a$$x=a$를 기준으로 양옆에서 $f(x)-g(x)$$f(x)-g(x)$의 부호가 후자의 경우만 바뀐다. 즉, 후자의 경우는 극값이 되지만, 전자의 경우 아무 것도 아니다.

    그리고 이 점은 변곡점인 것을 알 수 있다.

  • $f^{″}(x)=0$$f''(x)=0$인 값을 찾자.

    $\begin{array}{c}{f}^{″}(x)=\{\begin{array}{l}-\cos 2x\\ \cos 2x\end{array}\end{array}$$f''(x)=\begin{cases} -\cos 2x\\ \cos 2x\end{cases}$범위는 $n\pi$$n\pi$ 마다 끊어가면서 반복되겠지?

    그러면, $x=\frac{1}{4}\pi ,\frac{3}{4}\pi ,\pi ,\frac{5}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi ,2\pi ,\cdots$$x=\cfrac 14\pi ,~\cfrac 34\pi,~\pi,~\cfrac 54\pi, \cfrac 74\pi ,~2\pi,~\cdots$

    $\therefore a_6=2\pi ,a_2=\frac{3}{4}\pi$$\therefore~ a_6=2\pi,~a_2=\cfrac 34\pi$

ii. 계산

$\frac{100}{\pi }\times (a_6-a_2)=\frac{100}{\pi }\times \frac{5}{4}\pi$$\cfrac {100}{\pi} \times (a_6-a_2)=\cfrac {100}{\pi}\times \cfrac 54\pi$

$\therefore 125$$\therefore~ 125$