2017학년도 11월 나형 20번

20. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극댓값, $x=k$에서 극솟값을 가진다. (단, $k$는 상수이다.)

(나) $1$보다 큰 모든 실수 $t$에 대하여 $\begin{aligned} \int_0^t \big| f'(x)\big| dx =f(t)+f(0)\end{aligned}$이다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $\begin{aligned} \int_0^k f'(x)dx <0\end{aligned}$

ㄴ. $0\le k\le 1$

ㄷ. 함수 $f(x)$의 극솟값은 $0$이다.

---

i. 정리

• $f'(x)=3ax(x-k)\quad($단, $a>0,~k>0$이다.)

  

• 조건 (나)...흠...

ii. 생각

i) $0<k<1$일 때,

$\begin{aligned}\int_0^t |f'(x)|dx &= -\int_0^kf'(x)dx +\int_k^t f'(x)dx \\ \\ &= f(t)+f(0)-2f(k) \end{aligned}$

성립하기 위해서는 $f(k)=0$

ii) $k=1$일 때,

$\begin{aligned} \int_0^t |f'(x)|dx &= -\int_0^1f'(x)dx +\int_1^t f'(x)dx \\ \\ &= f(t)+f(0)-2f(1) \end{aligned}$

성립하기 위해서는 $f(1)=f(k)=0$

iii) $1<k$일 때,

1. $1<t<k$일 때,

   $\begin{aligned} \int_0^t |f'(x)|dx &=-\int_0^t f'(x)dx \\ \\ &= -f(t)+f(0)\end{aligned}$

   성립하지 않는다!

2. $k\le t$일 때,

   계산할 필요성이 사라졌다.

   조건 (나)에서 $1<t$인 모든 실수 $t$에 대해 성립해야 하는데 이미 $1<t<k$일 때 조건이 성립할 수 없어졌다!!!

iii. ㄱ

그냥 무조건 생각할 필요없이

True

iv. ㄴ

True

v. ㄷ

True