2017년 04월 나형 29번

29. 그림과 같이 $\overline{AB}=4,~\overline{BC}=3,~\angle B=90^{\circ}$인 삼각형 $ABC$의 변 $AB$ 위를 움직이는 점 $P$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 원 $O$가 있다. $\overline{AP}=x~(0<x<4)$라 할 때, 원 $O$가 삼각형 $ABC$와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $f(x)$라 하자. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 불연속이 되는 모든 실수 $a$의 값의 합은 $\cfrac qp$라 할 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $\overline{AB}=4,~\overline{BC}=3,~\overline{AC}=5$
• $\overline{AP}=x ~(0<x<4)$
• $f(x)=\triangle ABC$와 원의 교점

ii. 생각

• 뭐 그냥 잘 그리는 수 밖에....없지....

• $0<x<2$

  

  $f(x)=2$

• $x=2$

  

  $f(x)=3$

• $2<x<\alpha\quad$(단, $\alpha$는 접할 때)

  

  $f(x)=4$

• $x=\alpha$

  

  $f(x)=3$

  $\overline{AP}:2=\overline{AC}:\overline{BC}\quad (\because~\sin A)$

  $\alpha =\cfrac {10}3$

• $\alpha <x<4$

  

  $f(x)=2$

$\therefore~x=2,~\cfrac {10}3$일 때, 불연속

$\therefore~\cfrac qp =\cfrac {16}3 \quad \longrightarrow\quad p+q=19$