2017학년도 11월 나형 30번

30. 실수 $k$에 대하여 함수 $f(x)=x^3 -3x^2 +6x +k$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 방정식 $4f'(x)+12x-18=(f'\circ g)(x)$가 닫힌 구간 $[0,~1]$에서 실근을 갖기 위한 $k$의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$이라 할 때, $m^2+M^2$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $f(x)=x^3 -3x^2 +6x+k$

  $f'(x)=3x^2 -6x +6$

  $D/4=9-18<0$

  어..이거 왜 계산했지...

• $4f'(x)+12x-18=f'\big(g(x)\big)$

  어...좀 까다로운데? 뭐 미적분을 선택했다면 역함수의 미분법을 사용할 수 있을까?

  에이..다행히 못 쓰네...아닌가?

  뭘 해야할까?

ii. 생각

• $4f'(x)+12x-18=f'(g(x))$

  • $f'(x)$는 알고 있다.

  • $f(x)$를 가지고 $g(x)$를 구할 수는 있나?

    조온나 삽질하면 구할 수도 있을 지 모르겠지만, 하고 싶지 않은데?

    어? $g(x)$에 대한 방정식으로 볼 수 있네?

    와...ㅅㅂ 더러운데?

    $g(x)=t$로 치환해서 풀어보자.

iii. 생각이라 쓰고 삽질이라 읽는다.

• $4(3x^2 -6x +6)+12x-18=f'(t)$를 $t$에 대해 풀어보자.

  $12x^2 -12x +6=3t^2 -6t+6$

  $t^2-2t=4x^2-4x$

  인수분해가 될 거 같은데?

  $(t^2 -4x^2 )-2(t-2x)=0$

  $(t-2x)(t+2x-2)=0$

  뭔가 될 거 같네.

• $g(x)=2x$일 때,

  $f(g(x))=f(2x)$

  $x=f(2x)$

  어랏?

  $h(x)=f(2x)-x$라 하면,

  $h(x)=0$은 $[0,~1]$에서 실근을 가지면 된다.

  $h'(x)=2f'(2x)-1$이고, $h'(x)>0$ 이다. (판별식 계산 생략함...)

  $h(0)h(1)\le 0$이면 된다!

  $k(k+7)\le 0$

  $\therefore~-7\le k\le 0$

• $g(x)=-2x+2$일 때,

  $f(g(x))=f(-2x+2)$

  어...이건 좀 더러운데?

  $f(-2x+2)=x$

  $h(x)=f(-2x+2)-x$라 하면,

  $h'(x)=-2f'(-2x+2)-1$

  오우..더러워... 판별식을 구해보자. 오...더러운 계산을 하니 $h'(x)>0$

  $h(0)h(1)\le 0$이면 된다.

  $(k-1)(k+8)\le 0$

  $\therefore~-8\le k\le 1$

$\therefore ~m=-8,~M=1$

$\therefore~m^2+M^2=65$